曲面的极小曲面 我们先从直观理解开始。想象你用一根铁丝围成一个闭合的框架（比如一个圆环），然后把它浸入肥皂水中再取出，形成的肥皂膜就是一个极小曲面。它的特点是：在给定边界条件下，表面积达到最小。 接下来我们进入数学描述。设曲面用参数形式表示为 \( \mathbf{r}(u,v) \)，其平均曲率 \( H \) 定义为两个主曲率 \( \kappa_ 1 \) 和 \( \kappa_ 2 \) 的平均值： \[ H = \frac{\kappa_ 1 + \kappa_ 2}{2} \] 极小曲面的数学定义是：曲面上任意一点的平均曲率恒为零，即 \[ H = 0 \quad \text{或等价地} \quad \kappa_ 1 = -\kappa_ 2 \] 这意味着曲面在每个点处都呈现"鞍形"状态，两个主方向的弯曲程度相等但方向相反。 现在来看一个经典例子：悬链面。将一条悬链线绕其准线旋转，就得到悬链面。它的参数方程为： \[ \mathbf{r}(u,v) = (a\cosh\frac{v}{a}\cos u, a\cosh\frac{v}{a}\sin u, v) \] 可以验证这个曲面的平均曲率处处为零。 极小曲面还有一个重要性质：它们是面积泛函的临界点。考虑定义在曲面上的面积泛函 \[ A = \iint \sqrt{EG - F^2} dudv \] 其中 \( E, F, G \) 是第一基本形式的系数。通过变分法可以证明，使面积泛函一阶变分为零的曲面必须满足 \( H = 0 \)。 在物理中，极小曲面对应肥皂膜的平衡状态，因为表面张力会使膜的面积最小化。在建筑中，弗莱·奥托设计的帐篷结构和慕尼黑奥林匹克体育场屋顶就运用了极小曲面原理，既美观又节省材料。 最后，我们来看一个深刻的结果：伯恩斯坦定理。它断言在三维空间中，整个定义在 \( \mathbb{R}^2 \) 上的极小图（即可表示为 \( z = f(x,y) \) 的极小曲面）必须是平面。这个定理揭示了极小曲面在无穷远处的刚性性质。