模形式的自守L函数的p进L函数与Iwasawa理论 我们首先从模形式L函数的p进插值问题开始。模形式的自守L函数 \( L(f,s) \) 是复平面上的全纯函数，具有欧拉乘积和函数方程。在p进分析中，我们希望构造一个p进解析函数 \( L_ p(f,s) \)，使其在特定整数点上与 \( L(f,s) \) 的取值一致（模去欧拉因子）。这需要三个关键步骤： p进测度的构造 ：通过模形式的傅里叶系数构造p进分布。具体地，设 \( f \) 是权为 \( k \) 的模形式，其p稳定化后（在Hecke算子 \( T_ p \) 下是特征形式）的傅里叶系数为 \( a_ n \)。我们考虑由这些系数生成的p进分布 \( \mu_ f \) 在p进整数环 \( \mathbb{Z} p \) 上的作用，定义为对任意连续函数 \( \phi \) 有： \[ \mu_ f(\phi) = \lim {m \to \infty} \sum_ {a=0}^{p^m-1} \phi(a) a_ {p^m} \] 这个极限在p进度量下收敛，因为模形式的系数满足特定的同余性质。 p进L函数的定义 ：利用p进分布 \( \mu_ f \)，我们定义p进L函数为p进测度的梅林变换： \[ L_ p(f,s) = \int_ {\mathbb{Z}_ p^\times} \langle a \rangle^{s-1} d\mu_ f(a) \] 其中 \( \langle a \rangle = a / \omega(a) \) 是p进单位分解，\( \omega \) 是Teichmüller特征。这个积分在p进单位圆盘上收敛，且当 \( s = 1,2,\dots,k-1 \) 时，有插值性质： \[ L_ p(f,j) = (1 - \beta_ p p^{-j}) L(f,j) / \Omega_ f^\pm \] 其中 \( \beta_ p \) 是p处的欧拉因子，\( \Omega_ f^\pm \) 是周期。 Iwasawa理论的介入 ：考虑模形式族在p进变量下的变形。设 \( \Gamma = 1 + p\mathbb{Z}_ p \) 是p进单位群，其Iwasawa代数为 \( \Lambda = \mathbb{Z}_ p[ [ \Gamma] ] \)。通过将模形式提升到Hida族 \( \mathcal{F} \)（权为p进连续变量），我们得到： 一个分支p进L函数 \( L_ p(\mathcal{F},s) \in \Lambda \) Iwasawa主猜想：该L函数生成的理想等于特征理想 \( \mathrm{Char}(Sel(\mathbb{Q}_ \infty, A_ f)^\vee) \)，其中 \( Sel \) 是Selmer群，\( A_ f \) 是模形式对应的Galois表示 应用示例 ：对于权2的模形式对应椭圆曲线时，p进L函数在 \( s=1 \) 处的导数与Mazur-Tate元素相关，给出BSD猜想中阶的p进信息。具体地： \[ L_ p'(f,1) = \log_ p(P_ K) \cdot [ Sel(K,E[ p^\infty]) ] \] 其中 \( P_ K \) 是Heegner点，\( \log_ p \) 是p进对数。