方差分析 方差分析（ANOVA）是一种用于比较多个群体均值是否存在显著差异的统计方法。让我从基础概念开始，逐步解释其核心思想、数学模型和应用场景。 基本思想与问题背景 在实际研究中，我们经常需要比较三个或更多组的平均值（如不同药物治疗效果、不同教学方法的成绩）。若使用两两t检验，会增加犯第一类错误（假阳性）的概率。方差分析通过同时分析所有组的数据，控制整体错误率。其核心思想是：将数据的总变异分解为 组间变异 （不同处理间的差异）和 组内变异 （同一组内的随机误差），通过比较这两种变异的相对大小判断均值差异是否显著。 数学模型与变异分解 假设有 \( k \) 个组，每组样本量为 \( n_ i \)，总样本量 \( N = \sum n_ i \)。观测值 \( y_ {ij} \) 表示第 \( i \) 组第 \( j \) 个数据，模型为： \[ y_ {ij} = \mu_ i + \varepsilon_ {ij} = \mu + \tau_ i + \varepsilon_ {ij} \] 其中 \( \mu \) 是总均值，\( \tau_ i \) 是第 \( i \) 组的处理效应（满足 \( \sum \tau_ i = 0 \)），\( \varepsilon_ {ij} \sim N(0, \sigma^2) \) 为随机误差。总变异（总平方和, SST）可分解为： \[ \text{SST} = \sum_ {i=1}^k \sum_ {j=1}^{n_ i} (y_ {ij} - \bar{y})^2 = \sum_ {i=1}^k n_ i (\bar{y} i - \bar{y})^2 + \sum {i=1}^k \sum_ {j=1}^{n_ i} (y_ {ij} - \bar{y}_ i)^2 \] 即 SST = 组间平方和（SSB） + 组内平方和（SSW） 。 F检验与假设构建 假设检验为： \( H_ 0: \mu_ 1 = \mu_ 2 = \cdots = \mu_ k \)（或所有 \( \tau_ i = 0 \)） \( H_ 1: \) 至少存在一对 \( \mu_ i \neq \mu_ j \) 计算均方（MS）： \[ \text{MSB} = \frac{\text{SSB}}{k-1}, \quad \text{MSW} = \frac{\text{SSW}}{N-k} \] 在 \( H_ 0 \) 成立时，统计量 \( F = \frac{\text{MSB}}{\text{MSW}} \sim F(k-1, N-k) \)。若 \( F > F_ {\alpha}(k-1, N-k) \)，则拒绝 \( H_ 0 \)。 前提条件与验证 方差分析需满足： 独立性 ：观测值相互独立 正态性 ：每组数据来自正态分布 方差齐性 ：组间方差相等 可通过残差图、Shapiro-Wilk检验（正态性）和Levene检验（方差齐性）验证。若不满足条件，需使用非参数方法（如Kruskal-Wallis检验）或数据变换。 事后检验与效应量 若拒绝 \( H_ 0 \)，需进行事后检验（如Tukey HSD、Bonferroni校正）确定具体哪些组存在差异。同时，效应量如 \( \eta^2 = \frac{\text{SSB}}{\text{SST}} \) 可量化组间差异的实际重要性。 扩展形式：多因素方差分析 当存在多个自变量时（如因素A和B），可分析 主效应 和 交互效应 。例如双因素方差模型： \[ y_ {ijk} = \mu + \alpha_ i + \beta_ j + (\alpha\beta) {ij} + \varepsilon {ijk} \] 通过分解出交互项平方和，检验因素间是否相互影响。 方差分析通过系统性的变异分解，成为比较多元群体均值的核心工具，广泛应用于实验设计、社会科学和工业质量控制等领域。