格林函数法在热传导方程中的应用 格林函数法是求解线性偏微分方程的有力工具。在热传导方程中，它通过构造点源解来获得一般初边值问题的解。让我们循序渐进地理解这个方法。 首先，考虑一维齐次热传导方程的初值问题： \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad u(x,0) = f(x) \] 对应的格林函数 \( G(x,t;\xi,\tau) \) 满足： \[ \frac{\partial G}{\partial t} - \alpha \frac{\partial^2 G}{\partial x^2} = \delta(x-\xi)\delta(t-\tau) \] 对于无限大空间，这个格林函数就是基本解： \[ G(x,t;\xi,0) = \frac{1}{\sqrt{4\pi\alpha t}} e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4\alpha t}} \] 接下来，对于有界区域的问题，需要考虑边界条件。以一维区间 \([ 0,L ]\) 上的狄利克雷问题为例： \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad u(0,t) = u(L,t) = 0, \quad u(x,0) = f(x) \] 对应的格林函数满足相同的边界条件。通过镜像法，可以构造出满足边界条件的格林函数： \[ G(x,t;\xi,0) = \frac{1}{\sqrt{4\pi\alpha t}} \sum_ {n=-\infty}^{\infty} \left[ e^{-\frac{(x-\xi-2nL)^2}{4\alpha t}} - e^{-\frac{(x+\xi-2nL)^2}{4\alpha t}} \right ] \] 然后，利用这个格林函数，原问题的解可以表示为： \[ u(x,t) = \int_ 0^L G(x,t;\xi,0) f(\xi) d\xi \] 这个积分表示说明，任意初始温度分布产生的温度场可以看作是点源解的线性叠加。 进一步，对于非齐次热传导方程： \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + Q(x,t) \] 解可以表示为： \[ u(x,t) = \int_ 0^L G(x,t;\xi,0) f(\xi) d\xi + \int_ 0^t \int_ 0^L G(x,t;\xi,\tau) Q(\xi,\tau) d\xi d\tau \] 这里第一项对应初始条件的影响，第二项对应热源项的贡献。 最后，对于更复杂的边界条件，如诺伊曼边界条件或混合边界条件，格林函数的构造需要相应调整，但基本思想保持不变：通过满足齐次边界条件的格林函数，将原问题的解表示为初始条件和源项与格林函数的卷积。这种方法将求解偏微分方程的问题转化为寻找合适的格林函数，大大简化了问题的求解过程。