模的Fitting理想 我们先从模的基本概念开始。模是一个代数结构，它推广了向量空间的概念，允许标量取自一个环而非域。具体来说，若 \( R \) 是一个环，一个 \( R \)-模 \( M \) 是一个阿贝尔群，配备了一个标量乘法 \( R \times M \to M \)，满足分配律、结合律等公理。模在代数中无处不在，例如，理想、商环、线性代数中的矩阵都可以视为模。 接下来，考虑有限生成模。一个模 \( M \) 是有限生成的，如果存在有限个元素 \( m_ 1, \dots, m_ n \in M \)，使得 \( M \) 中每个元素都可以写成这些生成元的线性组合（系数在 \( R \) 中）。有限生成模可以用生成元与关系来描述：选取生成元组 \( (m_ 1, \dots, m_ n) \)，则存在一个满同态 \( R^n \to M \)，其核 \( K \) 是一个子模，称为关系模。于是 \( M \cong R^n / K \)。 现在，假设 \( M \) 是一个有限生成 \( R \)-模，且有一个生成元组 \( e_ 1, \dots, e_ n \)。那么任何元素 \( m \in M \) 可以写成 \( m = \sum_ {i=1}^n r_ i e_ i \)。关系模 \( K \) 由所有满足 \( \sum r_ i e_ i = 0 \) 的 \( (r_ 1, \dots, r_ n) \in R^n \) 组成。如果我们选取另一组生成元 \( f_ 1, \dots, f_ m \)，则存在一个关系矩阵 \( A \)，其行对应关系，列对应生成元。更精确地，若 \( M \) 由 \( n \) 个元素生成，则存在一个展示（presentation）： \[ R^m \xrightarrow{A} R^n \to M \to 0, \] 其中 \( A \) 是一个 \( n \times m \) 矩阵（有时也取转置，取决于约定），其列（或行）生成关系模。 Fitting 理想就是基于这样的展示定义的。对于有限生成模 \( M \) 和一个固定的生成元个数 \( n \)，考虑所有可能的展示矩阵 \( A \)（即所有使得 \( M \cong R^n / \mathrm{Im}(A) \) 的矩阵 \( A \)）。对于每个整数 \( k \)，定义 Fitting 理想 \( \mathrm{Fitt}_ k(M) \) 为所有 \( (n-k) \times (n-k) \) 子式的理想，其中子式取自某个展示矩阵 \( A \)。更准确地说，若 \( A \) 是一个 \( n \times m \) 矩阵，则 \( \mathrm{Fitt}_ k(M) \) 是由 \( A \) 的所有 \( (n-k) \times (n-k) \) 子式生成的理想。关键的是，这个理想不依赖于展示的选取，是模 \( M \) 的内在不变量。 Fitting 理想具有几个重要性质。首先，它们是递增的：\( \mathrm{Fitt} k(M) \subseteq \mathrm{Fitt} {k+1}(M) \)。其次，如果 \( M \) 可以由 \( n \) 个元素生成，则 \( \mathrm{Fitt}_ n(M) = R \)。最重要的是，Fitting 理想在基变换下行为良好：如果 \( R \to S \) 是一个环同态，则 \( \mathrm{Fitt}_ k(M \otimes_ R S) = \mathrm{Fitt}_ k(M) S \)。这使得 Fitting 理想在代数几何和数论中非常有用，例如在研究模的局部性质或定义闭子概形时。 Fitting 理想的一个典型应用是刻画模的投射性。例如，一个有限生成模 \( M \) 是投射的（因而是自由的，如果 \( R \) 是局部环）当且仅当存在某个 \( k \) 使得 \( \mathrm{Fitt}_ k(M) = R \)。此外，在代数几何中，Fitting 理想可以用来定义凝聚层的 Fitting 闭子概形，这在模空间理论和奇点理论中有重要应用。