环的幂零元 我们先从环的基本概念开始。环是一个集合，配有两种运算（加法和乘法），满足特定的公理。在环中，有一个特殊的元素叫零元（加法单位元），记作 0，它满足对任何环中元素 a，都有 a + 0 = a 和 a * 0 = 0 * a = 0。 现在，考虑环中的一个非零元素 a。如果存在某个正整数 n，使得 a 的 n 次幂等于零元，即 a^n = 0，那么 a 就称为幂零元。这里 n 至少是 2（因为如果 n=1，a=0，但零元通常不被视为非零幂零元，尽管有时在广义定义中包括零元，但标准讨论中我们关注非零的幂零元）。 例如，在模 n 的整数环 Z/(n) 中，如果 n 不是素数，环可能有零因子，但幂零元要求某个幂次为零。更简单的例子是矩阵环：考虑 2x2 矩阵环 over 实数，矩阵 [ [ 0,1],[ 0,0] ] 的平方是零矩阵，所以它是幂零元。 幂零元的存在与环的结构密切相关。如果环没有非零的幂零元，则称为约化环。幂零元总是零因子（因为如果 a^n=0 且 a≠0，则 a * a^{n-1} = 0，且 a^{n-1} 可能非零），但零因子不一定是幂零元。 在理想理论中，所有幂零元组成的集合构成一个理想，称为幂零根或Nil根。它是环的素根（所有素理想的交）的子集。如果环是Noetherian，幂零根本身是幂零理想，即存在整数 k 使得 (Nil(R))^k = 0。 幂零元在代数几何中也有应用：在仿射代数簇的坐标环中，幂零元对应到函数在簇上恒为零但某幂为零，这联系到簇的不可约性和既约性。