曲面的参数化表示 曲面的参数化表示是描述曲面的一种基本方法。我们先从最简单的二维曲线参数化开始理解这个概念。 想象一条平面曲线，我们可以用参数方程来表示它： 设参数为 \( t \) 曲线上点的坐标可表示为：\( x = x(t) \), \( y = y(t) \) 例如：单位圆的参数方程为 \( x = \cos t \), \( y = \sin t \)，其中 \( t \in [ 0, 2\pi) \) 现在将这个思想推广到三维空间中的曲面。曲面是二维的，所以我们需要两个参数来描述它： 设两个参数为 \( u \) 和 \( v \) 曲面上点的坐标可表示为：\( x = x(u,v) \), \( y = y(u,v) \), \( z = z(u,v) \) 其中 \( (u,v) \) 属于某个参数区域 \( D \subset \mathbb{R}^2 \) 让我用一个具体的例子来说明。考虑一个简单的平面： 参数方程：\( \mathbf{r}(u,v) = (u, v, 0) \) 这里 \( u \) 和 \( v \) 可以取任意实数值 当 \( (u,v) \) 在整个平面上变化时，我们就得到了整个 \( xy \)-平面 再举一个更有趣的例子——球面的参数化： 设参数 \( \theta \in [ 0, \pi] \)（极角），\( \phi \in [ 0, 2\pi) \)（方位角） 球面方程：\( \mathbf{r}(\theta,\phi) = (R\sin\theta\cos\phi, R\sin\theta\sin\phi, R\cos\theta) \) 当 \( \theta \) 和 \( \phi \) 在定义域内变化时，我们就得到了整个球面 参数化表示的一个重要优势是它自然地给出了曲面的坐标曲线： 固定 \( v = v_ 0 \)，让 \( u \) 变化，得到 \( u \)-曲线：\( \mathbf{r}(u,v_ 0) \) 固定 \( u = u_ 0 \)，让 \( v \) 变化，得到 \( v \)-曲线：\( \mathbf{r}(u_ 0,v) \) 这两族曲线构成了曲面上的坐标网 在参数化表示中，切向量和法向量的计算变得直接： \( u \)-方向的切向量：\( \mathbf{r}_ u = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} \) \( v \)-方向的切向量：\( \mathbf{r}_ v = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} \) 法向量：\( \mathbf{n} = \mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v \)（叉积） 参数化的选择不是唯一的，同一个曲面可以有多种不同的参数化方法。例如平面可以有： 直角坐标参数化：\( \mathbf{r}(u,v) = (u, v, 0) \) 极坐标参数化：\( \mathbf{r}(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta, 0) \) 好的参数化应该使计算简化，并且避免奇点（即 \( \mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v \neq \mathbf{0} \) 的点）。在实际应用中，我们经常根据曲面的对称性和几何特性来选择合适的参数化方法。