平行四边形的仿射变换性质

平行四边形的仿射变换性质是研究平行四边形在仿射变换下保持不变的特征。让我们从基础概念开始逐步深入：

1. 仿射变换的基本定义
   仿射变换是保持点之间线性关系的几何变换，由线性变换和平移变换组合而成。数学表达式为：T(x) = Ax + b，其中A是2×2可逆矩阵，b是平移向量。这种变换具有保持直线性、平行性和简单比例关系的特性。

2. 平行四边形的定义与特征
   平行四边形是两组对边分别平行的四边形。其关键性质包括：对角线互相平分、相邻角互补、对边相等。这些性质在仿射变换下具有特殊的表现形式。

3. 仿射变换对平行性的保持
   这是最核心的性质：仿射变换将平行线映射为平行线。证明如下：
   设直线L1: p + tv 和 L2: q + tv 是平行线（v是方向向量）
   经过仿射变换T后：
   T(p + tv) = A(p + tv) + b = Ap + tAv + b
   T(q + tv) = Aq + tAv + b
   变换后的直线仍具有相同的方向向量Av，因此保持平行。

4. 平行四边形在仿射变换下的像
   由于仿射变换保持平行性，平行四边形的对边在变换后仍然平行，因此其像必然仍是平行四边形。这是平行四边形在仿射变换下的核心不变性。

5. 面积比的不变性
   虽然仿射变换不保持面积，但保持面积比。具体来说：
   若原平行四边形面积为S，变换后面积为|det(A)|·S
   任意两个平行四边形的面积比在变换前后保持不变

6. 中点不变性
   平行四边形的对角线交点是各自的中点，这个性质在仿射变换下保持不变。因为仿射变换保持点的线性组合关系，中点作为两端点的平均，变换后仍为对应点的中点。

7. 共线性与比例不变性
   平行四边形顶点间的共线关系在仿射变换下保持不变，且线段上的比例关系（如对角线被交点分成的比例）也保持不变。

8. 仿射分类定理
   任意平行四边形都可以通过仿射变换变为正方形，这体现了平行四边形在仿射几何中的等价性。这个性质在计算机图形学和工程制图中有着重要应用。

理解平行四边形的仿射变换性质，有助于我们把握在投影变形等情况下，哪些几何特征会保持不变，哪些会发生改变，为更复杂的几何变换研究奠定基础。