二次型的判别式

二次型的判别式是判断二次型等价性和分类的重要数值不变量。让我从最基础的概念开始，逐步为你建立完整的理解框架。

1. 二次型的基本概念
首先需要明确什么是二次型。在数域F上的n元二次型是形如\(f(x_1,...,x_n)=\sum_{i≤j}a_{ij}x_ix_j\)的齐次二次多项式，其中\(a_{ij}∈F\)。例如\(f(x,y)=2x^2+3xy+4y^2\)就是一个二元二次型。

2. 二次型的矩阵表示
每个二次型都可以唯一对应一个对称矩阵。对于上面的例子，对应的对称矩阵是\(A=\begin{pmatrix} 2 & 1.5 \\ 1.5 & 4 \end{pmatrix}\)，使得\(f(x,y)=(x,y)A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)。一般地，n元二次型对应n×n对称矩阵A，其中对角线元素\(a_{ii}\)是\(x_i^2\)的系数，而非对角线元素\(a_{ij}=a_{ji}\)是\(x_ix_j\)系数的一半。

3. 基变换与合同关系
当我们对变量进行可逆线性变换\(x=Py\)（P可逆）时，二次型\(f(x)=x^TAx\)变为\(f(Py)=y^T(P^TAP)y\)。新二次型对应的矩阵变为\(P^TAP\)，这种关系称为合同。两个矩阵A和B称为合同的，如果存在可逆矩阵P使得\(B=P^TAP\)。

4. 判别式的定义
二次型f的判别式定义为对应矩阵A的行列式\(det(A)\)。由于合同变换下\(det(P^TAP)=det(P^T)det(A)det(P)=det(P)^2det(A)\)，所以判别式在合同变换下只能确定到一个非零平方因子的程度。

5. 判别式的几何意义
在实数域上，判别式的符号决定了二次型定义的二次曲面的类型。正定二次型的判别式为正，负定二次型的判别式为负（考虑适当标准化后）。判别式为零表示二次型是退化的，对应的二次曲面有奇点。

6. 判别式与等价分类
在代数数论中，判别式提供了二次型精细分类的工具。两个二次型等价当且仅当它们的判别式在平方类中相同，即\(det(A)/det(B)\)是某个系数的平方。这解释了为什么判别式只能确定到平方类。

7. 数论中的应用
在二元二次型\(ax^2+bxy+cy^2\)的情形，判别式\(Δ=b^2-4ac\)是基本不变量。高斯在《算术研究》中用判别式对二元二次型进行分类，相同判别式的二次型构成一个类群，这联系到二次域的理想类群。

8. 推广与高维情形
对于高次型或更复杂的代数形式，也有相应的判别式概念，它们都是判断代数对象何时有重根或奇点的工具。二次型的判别式是这一系列概念中最基本且最重要的特例。