数学物理方程中的正则变换
我们先从经典力学的基本框架开始。在分析力学中，系统的运动可以用哈密顿方程描述：
\[\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \]
其中 \((q_i, p_i)\) 是广义坐标和动量。正则变换的核心思想是寻找一组新的变量 \((Q_i, P_i)\)，使得在新变量下运动方程仍保持哈密顿形式：
\[\dot{Q}_i = \frac{\partial K}{\partial P_i}, \quad \dot{P}_i = -\frac{\partial K}{\partial Q_i} \]
这里 \(K\) 是新哈密顿量。这种变换需满足条件：新旧变量的微分形式满足
\[\sum_i p_i dq_i - \sum_i P_i dQ_i = dF \]
其中 \(F\) 是生成函数，它决定了变换的具体形式。
生成函数有四种基本类型。以第一类 \(F_1(q, Q, t)\) 为例，变换关系为：
\[p_i = \frac{\partial F_1}{\partial q_i}, \quad P_i = -\frac{\partial F_1}{\partial Q_i} \]
通过选取合适的生成函数，可以将复杂问题转化为更易求解的形式。例如，若能使新哈密顿量 \(K=0\)，则新坐标动量均为常数，此时原问题的解可通过变换关系直接得到。
正则变换的数学本质是保持相空间辛结构不变。辛条件要求变换的雅可比矩阵 \(M\) 满足：
\[M^T J M = J, \quad J = \begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix} \]
这个条件保证了变换的面积守恒性质，是哈密顿系统几何结构的核心体现。
在求解具体物理问题时，正则变换常用于实现哈密顿-雅可比理论的变量分离。例如在中心力场问题中，通过变换到作用量-角变量，可以直观得到周期运动的频率。在微扰理论中，近恒同变换可将系统逐步化简，这是卡姆定理等稳定性分析的基础。
正则变换的量子对应是幺正变换，这在量子力学表象变换中尤为重要。通过经典与量子的对比，可以更深入理解量子化过程中的细微差别，例如排序问题与几何相位的起源。