随机规划中的序贯决策与随机逼近算法 随机规划中的序贯决策与随机逼近算法是解决动态随机优化问题的核心方法。下面我将逐步解释这一概念： 序贯决策的基本结构 在随机规划中，序贯决策指决策者需要随时间推移做出一系列决策，每个决策点都会观察到新的随机信息 数学上可建模为多阶段决策过程：在时刻t，决策者基于当前状态x_ t和历史信息选择行动a_ t，然后系统根据状态转移概率P(x_ {t+1}|x_ t,a_ t)和随机扰动ξ_ t演化到新状态 目标是最小化总期望成本∑_ {t=0}^T E[ c_ t(x_ t,a_ t,ξ_ t) ] 信息模式的演进 决策者面临的信息流是逐步增加的：在时刻t，只能获得截至t时刻的随机变量实现值(ξ_ 0,...,ξ_ {t-1}) 这种信息约束要求决策策略必须是"非预见的" - 当前决策只能依赖于已实现的信息，不能预知未来 技术上，这通过要求决策策略是适应于递增σ-代数滤链的可测函数来严格表述 随机逼近的思想原理 当系统模型未知时，随机逼近提供了一种通过观测数据在线学习最优决策的方法 核心是Robbins-Monro型迭代：θ_ {k+1} = θ_ k + γ_ k[ F(θ_ k) + ε_ k ] 其中θ_ k是参数估计，F(θ)是待求根的函数，ε_ k是噪声，γ_ k是满足∑γ_ k=∞且∑γ_ k² <∞的步长 与序贯决策的融合 在序贯决策环境中，随机逼近用于在线更新价值函数或策略参数 例如，在随机梯度算法中，基于每个阶段观测的噪声梯度估计来调整决策变量 关键挑战是处理非平稳性 - 由于系统状态在变化，待优化的目标函数也在随时间演变 收敛性保证条件 步长选择至关重要：常用规则如γ_ k = 1/k或O(1/k^α) with α∈(0.5,1 ] 噪声条件：要求噪声ε_ k均值为零且方差有界，或至少满足某种鞅差条件 在适当条件下，算法几乎必然收敛到局部最优解，收敛速率通常为O(1/√k) 实际应用变体 随机近似动态规划：结合值函数逼近与随机逼近 随机梯度下降的序贯版本：处理随时间变化的样本分布 带有探索-利用权衡的算法：如随机多臂老虎机中的UCB和Thompson采样 这种方法特别适用于模型不确定的环境，决策者需要在获取信息与优化目标间进行权衡。