复变函数的柯西-黎曼方程在流体力学中的应用

1. 流体力学中的势函数与流函数
   在二维不可压缩无旋流体中，速度场可表示为复势函数 \(F(z) = \phi(x, y) + i\psi(x, y)\)，其中：

   • \(\phi\) 为速度势函数（势函数），满足 \(\mathbf{v} = \nabla \phi\)；
   • \(\psi\) 为流函数，其等值线对应流线。
     无旋性（\(\nabla \times \mathbf{v} = 0\)）保证 \(\phi\) 存在，不可压缩性（\(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\)）则导出 \(\psi\) 的存在。

2. 柯西-黎曼方程的推导
   由不可压缩性与无旋性，速度分量 \(u = \frac{\partial \phi}{\partial x}, v = \frac{\partial \phi}{\partial y}\) 满足：

   • 无旋性：\(\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = 0\)；
   • 不可压缩性：\(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0\)。
     结合流函数定义 \(u = \frac{\partial \psi}{\partial y}, v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}\)，直接得到柯西-黎曼方程：

\[ \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad \frac{\partial \phi}{\partial y} = -\frac{\partial \psi}{\partial x}. \]

这表明复势 \(F(z)\) 是解析函数，其导数 \(F'(z) = u - iv\) 称为复速度。

3. 应用示例：均匀流与点涡的叠加

   • 均匀流复势：\(F_1(z) = U_0 z\)（\(U_0\) 为来流速度）；
   • 点涡复势：\(F_2(z) = \frac{i\Gamma}{2\pi} \ln z\)（\(\Gamma\) 为环量）；
   • 叠加后 \(F(z) = U_0 z + \frac{i\Gamma}{2\pi} \ln z\)。
     通过分离实虚部可得势函数 \(\phi\) 与流函数 \(\psi\)，流线方程 \(\psi = \text{常数}\) 描述流体轨迹，例如圆柱绕流问题中可模拟环量效应。

4. 边界条件的复函数处理
   物面边界对应流函数为常数（无穿透条件）。例如圆柱绕流问题中，通过保角映射将圆柱区域映射到复平面，利用柯西-黎曼方程保持解析性，直接导出复势并计算压力分布（伯努利方程）。

5. 涡旋与源汇的建模
   源（汇）复势为 \(F(z) = \frac{Q}{2\pi} \ln z\)（\(Q\) 为流量），与点涡叠加可模拟螺旋流。柯西-黎曼方程保证速度场同时满足无旋与不可压缩条件，且允许通过解析函数的叠加灵活构造复杂流动。