数学物理方程中的分离变量法 好的，我们开始学习“数学物理方程中的分离变量法”。这是一个求解偏微分方程最基本、最经典的方法。 第一步：核心思想与基本概念 首先，我们需要理解分离变量法的核心思想。它试图将一个复杂的多变量问题，分解成几个更简单的单变量问题。 目标 ：求解一个包含多个自变量（例如，时间 t 和空间 x）的偏微分方程。 核心假设 ：我们假设这个多变量的函数解，可以写成几个单变量函数的 乘积形式 。例如，对于一个关于时间 t 和空间 x 的函数 u(x, t)，我们假设： u(x, t) = X(x) * T(t) 这里，X(x) 是仅与空间变量 x 有关的函数，T(t) 是仅与时间变量 t 有关的函数。这个假设是整个方法的基石。 第二步：方法流程（以一维波动方程为例） 让我们通过一个最经典的例子——一维齐次波动方程，来详细拆解这个方法的每一步。 考虑一个两端固定的弦的振动问题，其定解问题为： 偏微分方程（控制方程）： ∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x² (0 < x < L, t > 0) 边界条件： u(0, t) = 0 , u(L, t) = 0 (对于所有时间 t，弦的两端固定) 初始条件： u(x, 0) = f(x) , ∂u/∂t|_(t=0) = g(x) (初始形状和初始速度) 步骤 1：代入分离变量假设 我们将假设的解形式 u(x, t) = X(x)T(t) 代入偏微分方程。 计算二阶偏导： ∂²u/∂t² = X(x) * T''(t) (对时间求二阶导时，X(x) 被看作常数) ∂²u/∂x² = X''(x) * T(t) (对空间求二阶导时，T(t) 被看作常数) 代入方程： X(x)T''(t) = c² X''(x)T(t) 步骤 2：分离变量 这一步的目的是将含有 x 的函数和含有 t 的函数分别移到等式的两边。 将上式两边同时除以 c² X(x)T(t) (我们假设解不为零，所以可以这样做)： [T''(t)] / [c² T(t)] = [X''(x)] / [X(x)] 观察这个等式：左边是仅关于变量 t 的函数，右边是仅关于变量 x 的函数。一个只与 t 有关的函数等于一个只与 x 有关的函数，这对于所有 x 和 t 都成立，唯一的可能就是它们都等于同一个常数。我们称这个常数为 -λ (这里使用负号是为了后续求解的方便，它是一个待定参数，称为 分离常数 )。 于是，我们得到了两个 常微分方程 ： X''(x) + λX(x) = 0 (空间方程) T''(t) + λc² T(t) = 0 (时间方程) 看，一个复杂的偏微分方程，被我们成功地分离成了两个更简单的常微分方程。 步骤 3：处理边界条件，求解本征值问题 现在，我们将分离变量假设代入边界条件。 u(0, t) = X(0)T(t) = 0 => 因为 T(t) 不恒为零，所以必须有 X(0) = 0 。 u(L, t) = X(L)T(t) = 0 => 同样，必须有 X(L) = 0 。 现在，我们有了一个关于空间函数 X(x) 的定解问题： { X''(x) + λX(x) = 0; X(0) = 0, X(L) = 0 } 这是一个非常经典的 斯图姆-刘维尔型本征值问题 。 我们来求解它： 情况分析 ：我们需要根据分离常数 λ 的可能情况（正、零、负）来讨论。 若 λ < 0，通解为指数函数形式，结合边界条件 X(0)=0 和 X(L)=0 ，只能得到零解（ X(x) ≡ 0 ），即弦不振动，这不是我们想要的 非平凡解 。 若 λ = 0，通解为线性函数 X(x) = Ax + B ，结合边界条件后也只能得到零解。 若 λ > 0，我们令 λ = β² (β > 0)。此时方程的通解为： X(x) = A cos(βx) + B sin(βx) 。 代入边界条件 X(0) = 0 ： A * 1 + B * 0 = 0 => A = 0 。 代入边界条件 X(L) = 0 ： B sin(βL) = 0 。 为了得到非零解 (B ≠ 0)，必须有 sin(βL) = 0 。这意味着 βL = nπ ，即 β = nπ/L ，其中 n = 1, 2, 3, ... 得出本征值和本征函数 ： 本征值 ： λ_n = (nπ/L)² 本征函数 ： X_n(x) = B_n sin(nπx/L) (这里 B_ n 是任意常数，n = 1, 2, 3, ...) 这个求解过程告诉我们，弦的振动在空间上不是任意的，只能以一系列特定的“模式”存在，这些模式由本征函数描述，对应的特定频率由本征值决定。 步骤 4：求解时间方程 对于每一个确定的本征值 λ_ n，我们将其代入时间方程： T''_n(t) + [(nπc)/L]² T_n(t) = 0 这是一个简谐振子方程，其通解为： T_n(t) = C_n cos(nπct/L) + D_n sin(nπct/L) 这里 C_ n 和 D_ n 是任意常数。 步骤 5：构建特解和通解 对于每一个正整数 n，我们都有一个满足偏微分方程和边界条件的特解： u_n(x, t) = X_n(x)T_n(t) = [C_n cos(nπct/L) + D_n sin(nπct/L)] sin(nπx/L) 由于偏微分方程和边界条件都是线性齐次的，这些特解的任意线性叠加仍然是解。因此，我们得到问题的 通解 为： u(x, t) = Σ_{n=1}^∞ [C_n cos(nπct/L) + D_n sin(nπct/L)] sin(nπx/L) 这个无穷级数被称为 傅里叶级数解 。 步骤 6：利用初始条件确定系数 最后，我们利用初始条件来确定级数中的系数 C_ n 和 D_ n。 代入初始位移条件 u(x, 0) = f(x) ： u(x, 0) = Σ_{n=1}^∞ C_n sin(nπx/L) = f(x) 这恰好是函数 f(x) 在区间 [ 0, L] 上展开为正弦傅里叶级数的形式。因此，系数 C_ n 可以通过傅里叶正弦系数公式求得： C_n = (2/L) ∫_0^L f(x) sin(nπx/L) dx 代入初始速度条件 ∂u/∂t|_(t=0) = g(x) ： 首先对通解求时间偏导： ∂u/∂t = Σ_{n=1}^∞ [ -C_n (nπc/L) sin(nπct/L) + D_n (nπc/L) cos(nπct/L) ] sin(nπx/L) 然后令 t=0： ∂u/∂t|_(t=0) = Σ_{n=1}^∞ D_n (nπc/L) sin(nπx/L) = g(x) 这同样是 g(x) 的正弦傅里叶级数展开。因此，系数 D_ n 可以通过下式求得： D_n (nπc/L) = (2/L) ∫_0^L g(x) sin(nπx/L) dx => D_n = (2/(nπc)) ∫_0^L g(x) sin(nπx/L) dx 至此，我们完全确定了波动方程定解问题的解。分离变量法将一个复杂的偏微分方程问题，系统地分解为求解常微分方程的本征值问题和傅里叶级数展开问题，体现了化繁为简的强大威力。这个方法同样适用于热传导方程、拉普拉斯方程等其他类型的数学物理方程。