范畴论中的Yoneda引理 我们先从最基础的范畴概念开始。范畴由对象和对象之间的箭头（称为态射）组成，且态射满足结合律和单位律。例如，所有集合构成一个范畴Set，其中对象是集合，态射是集合之间的函数。 接下来需要理解 局部小范畴 ：对任意两个对象A和B，所有从A到B的态射构成一个集合（而非真类）。这在Yoneda引理中是重要前提。 现在定义 预层 ：对于范畴C，一个取值在Set的预层是一个函子F: C^op → Set。这意味着： 对每个对象X，F(X)是一个集合 对每个态射f: X → Y，F(f): F(Y) → F(X)是集合函数（注意方向反转） 特别重要的是 可表函子 。如果存在对象A使得F与Hom(A, -)自然同构，则称F被A表示。这里Hom(A, -)是将对象X映射到所有A→X态射的集合的函子。 Yoneda引理的核心是 Yoneda嵌入 ：定义函子y: C → [ C^op, Set ]，将对象A映射到Hom(A, -)。这个嵌入是满忠实函子，即它完全保持范畴结构。 现在来到关键的 Yoneda引理 ： 对任意预层F: C^op → Set和任意对象A，存在双射： Nat(Hom(A, -), F) ≅ F(A) 其中Nat表示自然变换的集合。 理解这个同构需要明确： 左边是Hom(A,-)到F的所有自然变换的集合 右边就是F在A处的取值 这个同构是自然的，即对A和F都是自然的 证明的关键在于观察到：给定自然变换α: Hom(A,-) → F，对应元素为α_ A(id_ A) ∈ F(A)；反过来，给定元素u ∈ F(A)，定义自然变换通过在f: A→X处取值F(f)(u)。 Yoneda引理的一个重要推论是：对象A由Hom(A,-)唯一决定（精确到同构）。这意味着要理解一个对象，只需理解所有指向其他对象的箭头。 在计算机科学中，Yoneda引理为数据结构表示和程序变换提供了理论基础。例如，它启发了continuation-passing style变换的范畴解释，其中数据类型由其观察方式（即所有可能的"使用方法"）完全确定。