数学物理方程中的特征线法
特征线法是求解一阶偏微分方程的重要方法。我们先从最简单的形式开始理解。
1. 一阶线性偏微分方程
考虑方程：
\[a(x,y)u_x + b(x,y)u_y = f(x,y) \]
其中\(u_x, u_y\)表示偏导数。这个方程描述的是未知函数\(u(x,y)\)沿特定方向的变化。
2. 特征线的引入
我们引入参数\(s\)，定义特征线为满足以下常微分方程组的曲线：
\[\frac{dx}{ds} = a(x,y),\quad \frac{dy}{ds} = b(x,y) \]
沿着这些特征线，原偏微分方程转化为：
\[\frac{du}{ds} = f(x,y) \]
这是因为根据链式法则：
\[\frac{du}{ds} = u_x\frac{dx}{ds} + u_y\frac{dy}{ds} = a(x,y)u_x + b(x,y)u_y = f(x,y) \]
3. 求解步骤
(1) 写出特征方程组：
\[\frac{dx}{a} = \frac{dy}{b} = \frac{du}{f} \]
(2) 求解前两个方程得到特征曲线
(3) 利用第三个方程沿特征线求解\(u\)
4. 初值问题的处理
对于柯西问题，给定初始曲线\(\Gamma: x=x_0(\tau), y=y_0(\tau)\)和初始值\(u=u_0(\tau)\)，我们需要：
- 从特征方程解出\(x(s,\tau), y(s,\tau)\)
- 从\(\frac{du}{ds}=f\)解出\(u(s,\tau)\)
- 反解出\(s,\tau\)关于\(x,y\)的关系，得到最终解\(u(x,y)\)
5. 拟线性方程的推广
对于拟线性方程：
\[a(x,y,u)u_x + b(x,y,u)u_y = f(x,y,u) \]
特征方程组变为：
\[\frac{dx}{ds} = a(x,y,u),\quad \frac{dy}{ds} = b(x,y,u),\quad \frac{du}{ds} = f(x,y,u) \]
这是一个三变量的自治系统。
6. 特征线的几何意义
特征线是\((x,y,u)\)空间中的曲线，沿着这些曲线，偏微分方程退化为常微分方程。解的曲面由特征线织成。
7. 应用示例：输运方程
考虑\(u_t + c u_x = 0\)，特征方程为：
\[\frac{dt}{ds}=1,\quad \frac{dx}{ds}=c,\quad \frac{du}{ds}=0 \]
解得特征线为\(x-ct=\)常数，且\(u\)沿特征线保持恒定。