模的内射维数 我们先从模的内射维数的定义开始。一个模 \( M \) 的内射维数，记作 \( \text{id}(M) \)，是满足以下条件的最小非负整数 \( n \)：存在一个内射分解 \[ 0 \to M \to I^0 \to I^1 \to \cdots \to I^n \to 0, \] 其中每个 \( I^i \) 是内射模。如果不存在这样的 \( n \)，则内射维数定义为无穷大。 内射维数衡量模离内射模有多远。内射模的内射维数为 0，因为 \( 0 \to M \to M \to 0 \) 就是一个内射分解。 接下来，我们考虑如何计算内射维数。内射维数可以通过 Ext 函子来刻画：\( \text{id}(M) \leq n \) 当且仅当对所有模 \( N \) 和所有 \( i > n \)，有 \( \text{Ext}^i(N, M) = 0 \)。特别地，如果 \( \text{id}(M) = n \)，则存在某个模 \( N \) 使得 \( \text{Ext}^n(N, M) \neq 0 \)。 现在，我们讨论内射维数与环的整体维数的关系。环 \( R \) 的整体维数是所有模的内射维数的上确界，也等于所有模的投射维数的上确界。对于诺特环，整体维数可以通过循环模（即形如 \( R/I \) 的模，其中 \( I \) 是理想）的内射维数来计算。 进一步，内射维数在局部环上有更精细的性质。如果 \( (R, \mathfrak{m}, k) \) 是诺特局部环，\( M \) 是有限生成模，则 \( \text{id}(M) \) 等于使得 \( \text{Ext}^i(k, M) = 0 \) 的最小整数 \( i \)。这提供了计算内射维数的具体工具。 最后，我们考虑内射维数与正则环的联系。一个诺特局部环是正则的当且仅当其整体维数有限，且等于其 Krull 维数。在这种情况下，所有有限生成模的内射维数都有限，且不超过环的维数。