随机波动率模型的傅里叶展开方法（Fourier Expansion Methods for Stochastic Volatility Models） 随机波动率模型的傅里叶展开方法是一种高效的半解析定价技术，它通过傅里叶变换将复杂的随机波动率模型转化为特征函数形式，再利用傅里叶反演计算期权价格。下面我将分步骤说明其原理和实现过程。 第一步：随机波动率模型的基本设定 考虑一个典型的随机波动率模型（如赫斯顿模型），其资产价格过程满足： 资产价格动态：dSₜ = μSₜdt + √vₜSₜdWₜˢ 波动率动态：dvₜ = κ(θ - vₜ)dt + σ√vₜdWₜᵛ 相关性：dWₜˢdWₜᵛ = ρdt 其中，vₜ是随机方差过程，κ是均值回归速度，θ是长期方差水平，σ是波动率的波动率。傅里叶展开方法的核心在于利用该系统的特征函数进行定价。 第二步：风险中性定价与特征函数推导 在风险中性测度下，期权价格可表示为： C = e^{-rT}Eℚ[ (S_ T - K)⁺ ] 通过引入对数价格xₜ = lnSₜ，可将问题转化为计算xₜ的累积分布。定义特征函数： φ(u) = Eℚ[ e^{iux_ T} ] 对于赫斯顿模型，其特征函数有解析解： φ(u) = exp(C(u,τ) + D(u,τ)v₀ + iux₀) 其中： C(u,τ) = riuτ + (κθ/σ²)[ (κ - ρσiu - d(u))τ - 2ln((1 - g(u)e^{-d(u)τ})/(1 - g(u))) ] D(u,τ) = (κ - ρσiu - d(u))/σ² · (1 - e^{-d(u)τ})/(1 - g(u)e^{-d(u)τ}) d(u) = √((ρσiu - κ)² + σ²(iu + u²)) g(u) = (κ - ρσiu - d(u))/(κ - ρσiu + d(u)) 第三步：傅里叶反演定价技术 采用Carr-Madan提出的傅里叶反演方法，将期权价格表示为： C(K) = (e^{-αlnK}/π) ∫₀^∞ Re[ e^{-ivlnK}ψ(v) ]dv 其中阻尼参数α确保积分收敛，且： ψ(v) = e^{-rT}φ(v - (α+1)i)/(α² + α - v² + i(2α+1)v) 通过数值积分（如FFT或COS方法）可高效计算整个波动率曲面上的期权价格。 第四步：COS方法的实现细节 傅里叶余弦展开（COS方法）进一步优化计算效率： 在截断区间[ a,b ]上对风险中性密度进行余弦展开 利用特征函数计算展开系数： Cₖ ≈ (2/(b-a))Re[ φ(kπ/(b-a))e^{-ikπa/(b-a)} ] 期权价格近似为： C ≈ e^{-rT}∑'_ {k=0}^{N-1} Cₖ · Vₖ 其中Vₖ为余弦基函数的支付函数积分，∑'表示首项系数减半。 第五步：模型扩展与计算优化 该方法可扩展到更复杂的随机波动率模型： 加入跳跃过程（Bates模型） 多因子波动率结构 时变参数情形 计算优化策略包括： 自适应积分区间选择 余弦项数N的收敛控制 并行计算多个行权价 这种方法的优势在于将复杂的偏微分方程求解转化为特征函数计算，既保持了随机波动率模型的灵活性，又获得了接近解析解的计算效率。