模的正合函子 我们先从函子的基本概念开始。一个函子 F: 𝒞 → 𝒟 是两个范畴之间的映射，它将 𝒞 的对象映到 𝒟 的对象，将 𝒞 的态射映到 𝒟 的态射，并满足 F(idₓ) = id_ {F(X)} 和 F(g∘f) = F(g)∘F(f)。 现在考虑模范畴。设 R 是一个环，我们考虑左 R-模的范畴 R-Mod。假设我们有一个函子 F: R-Mod → S-Mod（或者更一般地，到某个阿贝尔范畴）。 在模范畴中，我们可以讨论正合序列。一个序列的模与模同态 ... → A → B → C → ... 被称为在 B 处正合，如果像等于核。一个序列在所有中间点都正合，则称为正合序列。特别地，短正合序列 0 → A → B → C → 0 是正合的，这意味着 A → B 是单射，B → C 是满射，且 A → B 的像等于 B → C 的核。 现在我们可以定义正合函子。一个函子 F: R-Mod → S-Mod 被称为： 左正合，如果对于任意短正合序列 0 → A → B → C → 0，序列 0 → F(A) → F(B) → F(C) 仍然正合； 右正合，如果对于任意短正合序列 0 → A → B → C → 0，序列 F(A) → F(B) → F(C) → 0 仍然正合； 正合，如果它既是左正合又是右正合，即对于任意短正合序列 0 → A → B → C → 0，序列 0 → F(A) → F(B) → F(C) → 0 仍然正合。 等价地，一个正合函子将正合序列映为正合序列。这意味着它保持核、余核和像。 正合函子的重要性在于它们保持模结构的所有正合性信息。在代数拓扑、同调代数和表示论中，正合函子是我们理解不同范畴之间关系的关键工具。