马尔可夫链的谱理论 基本定义与背景 马尔可夫链的谱理论通过分析其转移算子的特征值和特征函数，研究链的长期行为（如收敛速率、混合时间）。设有限状态空间上的马尔可夫链有转移矩阵 \( P \)，其谱结构（特征值模长分布）与链的不可约性、周期性、可逆性等性质紧密相关。 可逆链的谱分解 若链满足细致平衡条件（即存在分布 \( \pi \) 使 \( \pi_ i P_ {ij} = \pi_ j P_ {ji} \)），则 \( P \) 在加权空间 \( L^2(\pi) \) 上可对角化。特征值满足 \( 1 = \lambda_ 1 > \lambda_ 2 \geq \dots \geq \lambda_ n \geq -1 \)，第二大特征值模 \( \lambda^* = \max(|\lambda_ 2|, |\lambda_ n|) \) 控制收敛速率。 谱间隙与混合时间 谱间隙 \( \gamma = 1 - \lambda^* \) 衡量链的收敛速度： 混合时间 \( t_ {\text{mix}}(\epsilon) \) 满足 \( t_ {\text{mix}}(\epsilon) \leq \frac{1}{\gamma} \log\left(\frac{1}{\epsilon \pi_ {\min}}\right) \)，其中 \( \pi_ {\min} = \min_ i \pi_ i \)。 谱间隙越大，链越快速趋于平稳分布。 非可逆链的推广 对非可逆链，需考虑奇异值分解或添加“伪谱间隙”分析。此时，转移算子的奇异值或 Jordan 块结构会影响混合时间，需借助 Lyapunov 函数或耦合方法补充研究。 应用与扩展 采样算法优化 ：MCMC 方法中通过估计谱间隙调整提案分布。 复杂模型分析 ：在统计物理、网络动力学中，谱理论用于相变临界行为研究。 无限状态空间 ：需引入转移算子的谱投影和生成函数，结合泛函分析工具。