可测函数的凸共轭
字数 874 2025-11-16 00:16:54

可测函数的凸共轭

我将为您详细讲解可测函数的凸共轭概念，这是一个在凸分析和变分法中非常重要的工具。

  1. 凸函数的基本概念
    首先需要理解凸函数的定义。一个函数f: ℝⁿ → ℝ∪{+∞}称为凸函数，如果对于任意x,y ∈ ℝⁿ和λ ∈ [0,1]，都有：
    f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y)
    这意味着函数图像上任意两点间的线段都在图像上方。

  2. 共轭空间的准备
    考虑对偶空间的概念。对于ℝⁿ，其对偶空间就是自身。给定向量x和其对偶向量y，它们的内积⟨x,y⟩ = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + xₙyₙ是定义共轭的基础。

  3. 凸共轭的定义
    对于可测函数f: ℝⁿ → ℝ∪{+∞}，其凸共轭（也称勒让德变换或芬切尔共轭）定义为：
    f*(y) = sup{⟨x,y⟩ - f(x) : x ∈ dom f}
    其中dom f = {x ∈ ℝⁿ : f(x) < +∞}是f的有效定义域。

  4. 几何解释
    从几何角度看，f*(y)表示所有斜率为y的仿射函数⟨x,y⟩ - c在f上方的最大截距。换句话说，它是f的所有仿射下界中，斜率为y时的最大截距。

  5. 基本性质
    凸共轭具有以下重要性质：

  • f*总是凸函数（即使f不是凸的）
  • f*是下半连续的
  • 如果f是正常凸函数（dom f ≠ ∅且f > -∞），则f** = f（对合性质）

  1. 计算示例
    考虑f(x) = ¹/₂‖x‖²，其凸共轭为：
    f*(y) = sup{⟨x,y⟩ - ¹/₂‖x‖²} = ¹/₂‖y‖²
    这是通过完成平方并求最大值得到的。

  2. 在优化中的应用
    凸共轭在对偶理论中至关重要。原始问题inf{f(x) : x ∈ ℝⁿ}可以转化为对偶问题sup{-f*(y) : y ∈ ℝⁿ}，这为许多优化问题提供了新的视角和解法。

  3. 与次梯度的关系
    凸共轭与次梯度有密切联系：y ∈ ∂f(x)当且仅当f(x) + f*(y) = ⟨x,y⟩，这称为芬切尔等式。

理解可测函数的凸共轭为研究凸优化、变分法和偏微分方程提供了强有力的工具。

可测函数的凸共轭 我将为您详细讲解可测函数的凸共轭概念，这是一个在凸分析和变分法中非常重要的工具。 凸函数的基本概念 首先需要理解凸函数的定义。一个函数f: ℝⁿ → ℝ∪{+∞}称为凸函数，如果对于任意x,y ∈ ℝⁿ和λ ∈ [ 0,1 ]，都有： f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y) 这意味着函数图像上任意两点间的线段都在图像上方。 共轭空间的准备 考虑对偶空间的概念。对于ℝⁿ，其对偶空间就是自身。给定向量x和其对偶向量y，它们的内积⟨x,y⟩ = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + xₙyₙ是定义共轭的基础。 凸共轭的定义 对于可测函数f: ℝⁿ → ℝ∪{+∞}，其凸共轭（也称勒让德变换或芬切尔共轭）定义为： f* (y) = sup{⟨x,y⟩ - f(x) : x ∈ dom f} 其中dom f = {x ∈ ℝⁿ : f(x) < +∞}是f的有效定义域。 几何解释 从几何角度看，f* (y)表示所有斜率为y的仿射函数⟨x,y⟩ - c在f上方的最大截距。换句话说，它是f的所有仿射下界中，斜率为y时的最大截距。 基本性质 凸共轭具有以下重要性质： f* 总是凸函数（即使f不是凸的） f* 是下半连续的 如果f是正常凸函数（dom f ≠ ∅且f > -∞），则f** = f（对合性质） 计算示例 考虑f(x) = ¹/₂‖x‖²，其凸共轭为： f* (y) = sup{⟨x,y⟩ - ¹/₂‖x‖²} = ¹/₂‖y‖² 这是通过完成平方并求最大值得到的。 在优化中的应用 凸共轭在对偶理论中至关重要。原始问题inf{f(x) : x ∈ ℝⁿ}可以转化为对偶问题sup{-f* (y) : y ∈ ℝⁿ}，这为许多优化问题提供了新的视角和解法。 与次梯度的关系 凸共轭与次梯度有密切联系：y ∈ ∂f(x)当且仅当f(x) + f* (y) = ⟨x,y⟩，这称为芬切尔等式。 理解可测函数的凸共轭为研究凸优化、变分法和偏微分方程提供了强有力的工具。