二次型的西尔维斯特惯性定理

西尔维斯特惯性定理是描述实二次型在合同关系下的不变量。让我们从基础概念开始，逐步深入理解这个重要定理。

1. 首先回顾二次型的定义：在实数域上的n元二次型是形如\(q(x_1,...,x_n)=\sum_{i,j}a_{ij}x_ix_j\)的齐次二次多项式，其中系数\(a_{ij}\)为实数且\(a_{ij}=a_{ji}\)。这个多项式可以写成矩阵形式\(q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}\)，其中\(A\)是实对称矩阵。

2. 我们需要理解合同关系：两个n阶实对称矩阵\(A\)和\(B\)称为合同的，如果存在可逆实矩阵\(P\)使得\(B=P^TAP\)。这对应于二次型在可逆线性变换下的关系，即\(q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}\)与\(q'( \mathbf{y})=\mathbf{y}^TB\mathbf{y}\)通过变量代换\(\mathbf{x}=P\mathbf{y}\)相联系。

3. 实二次型可以通过正交变换化为标准形。具体来说，任何实对称矩阵\(A\)都存在正交矩阵\(Q\)使得\(Q^TAQ=\text{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n)\)，其中\(\lambda_i\)是\(A\)的特征值。因此二次型可化为\(q(\mathbf{y})=\lambda_1y_1^2+...+\lambda_ny_n^2\)。

4. 进一步，我们可以通过缩放将二次型化为规范形。由于特征值有正有负，我们可以令\(z_i=\sqrt{|\lambda_i|}y_i\)（当\(\lambda_i≠0\)），得到\(q(\mathbf{z})=z_1^2+...+z_p^2-z_{p+1}^2-...-z_{p+q}^2\)，其中\(p\)是正特征值个数，\(q\)是负特征值个数。

5. 西尔维斯特惯性定理的核心内容：对于任意实二次型，在合同变换下，正平方项个数\(p\)（正惯性指数）和负平方项个数\(q\)（负惯性指数）是不变量，即与所选的规范形无关。同时，\(r=p+q\)（二次型的秩）也是不变量。

6. 定理的证明思路：假设同一二次型有两个不同的规范形，分别有正惯性指数\(p_1,p_2\)。考虑由前\(p_1\)个变量张成的子空间和由后\(n-p_2\)个变量张成的子空间，利用线性空间维数理论可以证明这两个子空间有非零交，从而导出矛盾。

7. 惯性定理的一个重要推论是实二次型的分类：两个实二次型等价的充要条件是它们有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数（即相同的符号差\(p-q\)）。这给出了实二次型在合同关系下的完整不变量系统。

8. 应用方面，西尔维斯特惯性定理在多元微积分中用于判断多元函数的极值点类型，在物理学中用于分析力学系统的稳定性，在微分几何中用于研究曲面的局部几何性质。