C0-半群（C0-Semigroups） 基本概念与动机 C0-半群（也称强连续单参数半群）是描述线性动力系统演化的核心工具。考虑一个巴拿赫空间 \(X\) 上的线性微分方程： \[ \frac{du(t)}{dt} = Au(t), \quad u(0) = u_ 0 \in X, \] 其中 \(A\) 是某个线性算子（通常无界）。若该方程存在解 \(u(t)\)，则解可表示为 \(u(t) = T(t) u_ 0\)，其中算子族 \(\{T(t)\}_ {t \geq 0}\) 满足： 半群性质 ：\(T(0) = I\)（恒等算子），且 \(T(t+s) = T(t)T(s)\) 对所有 \(t,s \geq 0\) 成立。 强连续性 ：对任意 \(x \in X\)，映射 \(t \mapsto T(t)x\) 在 \( [ 0, \infty)\) 上连续（即 \(C_ 0\) 连续性）。 这种算子族称为 C0-半群 ，它将初始条件 \(u_ 0\) 映射为时刻 \(t\) 的状态。 无穷小生成元 C0-半群的核心特征是它的生成元。定义算子 \(A\) 为： \[ Ax = \lim_ {t \to 0^+} \frac{T(t)x - x}{t}, \] 其定义域 \(D(A)\) 是使上述极限存在的所有 \(x \in X\)。称 \(A\) 为半群 \(\{T(t)\}_ {t \geq 0}\) 的 无穷小生成元 。 关键性质 ： \(A\) 是稠定闭算子（即 \(D(A)\) 在 \(X\) 中稠密，且图像是闭的）。 对 \(x \in D(A)\)，函数 \(t \mapsto T(t)x\) 可微，且满足： \[ \frac{d}{dt} T(t)x = A T(t)x = T(t) A x. \] 生成定理：从算子到半群 如何判断一个算子 \(A\) 能否生成C0-半群？以下是两个基本定理： Hille-Yosida定理 ：稠定闭算子 \(A\) 生成 一致有界 C0-半群（即 \(\|T(t)\| \leq M\)）的充要条件是： \(A\) 是闭算子且 \(D(A)\) 稠密。 所有实数 \(\lambda > 0\) 属于 \(A\) 的预解集，且满足预解估计： \[ \|(\lambda I - A)^{-n}\| \leq \frac{M}{\lambda^n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}. \] Lumer-Phillips定理 ：若 \(A\) 是稠定闭算子，且 \(A\) 与其共轭 \(A^ \) 均为耗散算子（即 \(\text{Re}\langle Ax, x^ \rangle \leq 0\) 对所有 \(x \in D(A)\) 和某个 \(x^* \in J(x)\) 成立），同时满足值域条件 \(\text{Ran}(\lambda I - A) = X\) 对某个 \(\lambda > 0\)，则 \(A\) 生成一个压缩C0-半群（即 \(\|T(t)\| \leq 1\)）。 收敛性与逼近 C0-半群可通过有界算子逼近，例如： Yosida逼近 ：定义 \(A_ \lambda = \lambda A(\lambda I - A)^{-1}\)，则 \(A_ \lambda\) 是有界算子，且生成的半群 \(e^{tA_ \lambda}\) 强收敛于 \(T(t)\)（当 \(\lambda \to \infty\)）。 Trotter-Kato定理 ：若一列生成元 \(A_ n\) 满足预解收敛性（即 \((\lambda I - A_ n)^{-1} \to (\lambda I - A)^{-1}\) 强收敛），则对应的半群 \(T_ n(t)\) 强收敛于 \(T(t)\)。 应用与推广 C0-半群理论广泛用于： 热传导方程 ：若 \(A = \Delta\)（拉普拉斯算子），则生成解析半群，解表示为 \(u(t) = T(t) u_ 0\)。 波动方程 ：需使用 C0-群 （定义延拓至 \(t \in \mathbb{R}\)）。 非线性推广 ：非线性半群理论（如耗算子的非线性半群）用于研究非线性演化方程。 通过以上步骤，C0-半群将无界算子与连续动力学系统联系起来，为分析微分方程的解提供了统一框架。