非线性最小二乘法 非线性最小二乘法是求解非线性数据拟合问题的重要方法。让我为您详细解释这个主题。 1. 问题背景与基本概念 在实际应用中，我们经常遇到这样的问题：给定一组观测数据点{(xᵢ, yᵢ)}，i=1,...,m，需要找到一个非线性函数f(x;θ)来最好地拟合这些数据，其中θ=(θ₁,θ₂,...,θₙ)是待估参数向量。 与线性最小二乘法不同，这里的f关于参数θ是非线性的。例如： 指数衰减模型：f(x;θ) = θ₁exp(θ₂x) 逻辑增长模型：f(x;θ) = θ₁/(1+θ₂exp(-θ₃x)) 2. 数学模型建立 非线性最小二乘问题的目标是最小化残差平方和： min F(θ) = ½∑[ yᵢ - f(xᵢ;θ) ]² 这里乘以½是为了后续求导的便利性。残差函数定义为： rᵢ(θ) = yᵢ - f(xᵢ;θ) 因此目标函数可重写为： F(θ) = ½‖r(θ)‖²₂ 3. 最优性条件分析 对目标函数求梯度： ∇F(θ) = J(θ)ᵀr(θ) 其中J(θ)是残差函数的雅可比矩阵，其元素为： [ J(θ) ]ᵢⱼ = ∂rᵢ/∂θⱼ = -∂f(xᵢ;θ)/∂θⱼ 驻点条件为：J(θ)ᵀr(θ) = 0 海森矩阵为： ∇²F(θ) = J(θ)ᵀJ(θ) + ∑rᵢ(θ)∇²rᵢ(θ) 4. 求解方法：高斯-牛顿法 高斯-牛顿法是最常用的求解方法，其核心思想是在当前点θₖ处对f进行一阶泰勒展开： f(x;θ) ≈ f(x;θₖ) + J(θₖ)(θ - θₖ) 从而将原问题转化为线性最小二乘问题： min ‖y - f(θₖ) - J(θₖ)Δθ‖² 迭代格式为： θₖ₊₁ = θₖ + Δθ 其中Δθ = (J(θₖ)ᵀJ(θₖ))⁻¹J(θₖ)ᵀr(θₖ) 5. 方法的改进与变体 由于基本高斯-牛顿法可能不稳定，发展出了多种改进方法： Levenberg-Marquardt方法 ：在法方程中加入阻尼项 (JᵀJ + μI)Δθ = Jᵀr 带线搜索的高斯-牛顿法 ：控制步长 θₖ₊₁ = θₖ + αₖΔθ，其中αₖ通过线搜索确定 信赖域方法 ：限制步长在信赖域内，保证算法稳定性 6. 收敛性分析 高斯-牛顿法具有局部收敛性： 如果初始点足够接近真解，且J(θ* )列满秩，则算法以线性速率收敛 如果残差r(θ* )很小，收敛速率接近二次收敛 7. 实际应用考虑 在实际应用中需要考虑： 初始值选择 ：使用网格搜索或领域知识确定合理初值 收敛准则 ：设置梯度范数、参数变化量或函数值变化的阈值 数值稳定性 ：使用QR分解或SVD分解求解法方程 异常值处理 ：采用鲁棒损失函数替代平方损失 8. 与相关方法的比较 与最速下降法相比，高斯-牛顿法在接近解时收敛更快；与牛顿法相比，避免了计算二阶导数的复杂性，但需要残差较小才能保证快速收敛。 这种方法在工程、物理、化学、经济学等领域的曲线拟合和参数估计中有着广泛应用。