圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续五十五）

在之前的讨论中，我们详细分析了圆的渐开线与渐伸线在曲率、弧长参数、切向量等方面的微分几何关系。现在让我们进一步探讨这两条曲线在法向量场和密切平面上的深层联系。

1. 法向量场的平行性

   考虑圆的渐开线Γ和其对应的渐伸线Γₑ。在任意对应点处，两条曲线的单位法向量具有特殊的平行关系：

   • 对于渐开线Γ，其单位法向量N可通过切向量T旋转90度得到
   • 对于渐伸线Γₑ，其单位法向量Nₑ同样由切向量Tₑ旋转90度得到
   • 由于Tₑ = -N（这是渐开线与渐伸线的基本关系之一）
   • 因此Nₑ = -T，即两条曲线在对应点处的法向量方向正好相反

2. 密切平面的相对位置

   在三维空间中考虑这两条曲线时，它们的密切平面呈现出有趣的几何关系：

   • 渐开线Γ的密切平面由切向量T和法向量N张成
   • 渐伸线Γₑ的密切平面由切向量Tₑ和法向量Nₑ张成
   • 由于Tₑ = -N且Nₑ = -T
   • 因此两条曲线的密切平面实际上是同一个平面
   • 这意味着在三维空间中，圆的渐开线和渐伸线位于同一个平面上

3. 曲率中心的相对运动

   当点沿着渐开线运动时，对应的渐伸线上的点也在运动，两个曲率中心的运动轨迹呈现出对称性：

   • 渐开线的曲率中心位于渐伸线上
   • 渐伸线的曲率中心位于渐开线上
   • 这种互为曲率中心的关系在运动过程中保持
   • 两条曲线的曲率中心连线始终垂直于它们在该点的切线

4. 测地曲率的关联

   如果将这两条曲线视为同一曲面上的曲线，它们的测地曲率存在简单关系：

   • 对于平面曲线，测地曲率等于曲率
   • 因此κ_g(Γ) = κ(Γ) 且 κ_g(Γₑ) = κ(Γₑ)
   • 结合已知的曲率关系κ(Γ)κ(Γₑ) = 1
   • 可得κ_g(Γ)·κ_g(Γₑ) = 1

这一深入分析揭示了圆的渐开线与渐伸线在法向量场和密切平面层次上的完美对称性，为理解更一般的渐开-渐伸曲线对提供了理论基础。