遍历理论中的叶状结构的遍历性与刚性 让我们从叶状结构的基本概念开始。叶状结构是微分流形上的一种几何结构，它将流形划分成一系列互相不交的子流形（称为"叶"），这些叶局部上看起来像是平行超平面。在遍历理论中，我们研究的是保测动力系统作用在叶状结构上的行为。 考虑一个紧致流形M上的光滑叶状结构F。每个点x∈M都属于唯一的一片叶L_ x，这些叶在局部上是C^r光滑的嵌入子流形。叶状结构的维度（叶的维度）记为p，余维度记为q=n-p。 现在引入遍历性。我们说叶状结构是遍历的，如果对于任何可测集A⊂M，如果A与几乎所有叶的交集在叶的叶面测度下要么是零测要么是全测，那么A本身在M的整体测度下要么是零测要么是全测。这意味着动力系统在叶上的限制是遍历的。 更精确地说，给定一个保测变换T: M→M，如果T保持叶状结构（即将叶映射到叶），那么我们可以研究限制在每片叶上的动力系统的遍历性。叶状结构的遍历性意味着在几乎每片叶上，时间平均等于空间平均。 接下来考虑刚性概念。叶状结构的刚性指的是在某些强条件下，叶状结构必须保持某种正则性。例如，在足够强的双曲性假设下，或者在高正则性（如C^2光滑性）和某些遍历性条件下，叶状结构可能必须是解析的，甚至是"平凡的"（即所有叶都微分同胚于某个标准模型）。 一个重要的刚性结果是：如果叶状结构是遍历的，并且具有某种均匀双曲性，同时保持某个不变测度，那么在某种意义下，这个叶状结构是刚性的——任何小的C^1扰动都会通过连续变换回到原来的叶状结构。 具体来说，刚性定理表明，在某些条件下，两个保测的、遍历的叶状结构如果通过一个保持测度的同胚共轭，并且这个同胚在叶上是C^1接近恒等的，那么这两个叶状结构实际上是C^1共轭的。 这种刚性结果与叶的几何性质密切相关，特别是与叶上的测地流、叶的渐近形状等有关。当叶状结构还具有某种代数结构（如来自李群作用的齐次叶状结构）时，刚性现象更加显著。 在遍历理论的框架下，叶状结构的刚性与系统的谱性质、熵的产生率、李雅普诺夫指数等不变量有着深刻联系。这些不变量在微小扰动下的稳定性反映了叶状结构本身的刚性特性。