曲面的第二基本形式 曲面的第二基本形式是描述曲面在空间中弯曲程度的重要几何工具。让我们从基础概念开始，循序渐进地理解它。 首先，回忆曲面的第一基本形式。第一基本形式描述了曲面上的度量性质，比如弧长、角度和面积。它由三个系数E、F、G定义，完全由曲面的内蕴几何决定。 现在进入第二基本形式。与第一基本形式不同，第二基本形式关注的是曲面在三维空间中的"弯曲"特性。它通过测量曲面法向量的变化来量化曲面的弯曲程度。 具体来说，考虑曲面上的一个点P，以及该点的单位法向量n。当我们沿着曲面移动时，法向量的变化率反映了曲面的弯曲情况。第二基本形式的系数L、M、N定义为： L = n·r_ uu M = n·r_ uv N = n·r_ vv 其中r(u,v)是曲面的参数表示，r_ uu、r_ uv、r_ vv是二阶偏导数。 第二基本形式本身可以写为： II = L du² + 2M dudv + N dv² 这个二次型在几何上有着明确的解释：它表示曲面上某点处，沿着给定方向(d