模的直和与直积

字数 2028 2025-11-15 16:31:57

模的直和与直积

我们先从模的基本结构开始理解。模的直和与直积是构造新模的两种基本方法，它们分别通过组合已知模来产生更大的模。

1. 直和与直积的定义
设 \(R\) 是一个环，\(\{M_i\}_{i \in I}\) 是一族 \(R\)-模，其中 \(I\) 是指标集。

直积（Direct Product）定义为：

\[ \prod_{i \in I} M_i = \left\{ (m_i)_{i \in I} \middle| m_i \in M_i \right\} \]

其加法与标量乘法按分量进行：\((m_i) + (m'_i) = (m_i + m'_i)\)，\(r \cdot (m_i) = (r \cdot m_i)\)。

直和（Direct Sum）是直积的一个子模：

\[ \bigoplus_{i \in I} M_i = \left\{ (m_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} M_i \middle| m_i = 0 \text{ 对几乎所有 } i \right\} \]

“几乎所有”表示仅有有限个 \(m_i\) 非零。

2. 有限情况的等价性
当 \(I\) 有限时，直和与直积一致：\(\bigoplus_{i=1}^n M_i = \prod_{i=1}^n M_i\)。无限情况下，直和是直积的真子模，因为直和要求分量几乎总为零。

3. 泛性质与结构特征
直和与直积可通过泛性质刻画：

直和的泛性质：对任意模 \(N\) 与同态族 \(f_i: M_i \to N\)，存在唯一同态 \(f: \bigoplus M_i \to N\) 使得 \(f \circ \iota_j = f_j\)，其中 \(\iota_j: M_j \to \bigoplus M_i\) 是典范单射（将 \(m_j\) 映至第 \(j\) 分量为 \(m_j\)、其余为零的元）。
直积的泛性质：对任意模 \(N\) 与同态族 \(g_i: N \to M_i\)，存在唯一同态 \(g: N \to \prod M_i\) 使得 \(\pi_j \circ g = g_j\)，其中 \(\pi_j: \prod M_i \to M_j\) 是典范投影。

这些性质体现了直和的“余积”与直积的“积”在范畴论中的对偶角色。

4. 直和与直积的同态模
设 \(M = \bigoplus_{i \in I} M_i\)，\(N = \prod_{j \in J} N_j\)，则有同构：

\[\operatorname{Hom}_R\left( \bigoplus_{i \in I} M_i, N \right) \cong \prod_{i \in I} \operatorname{Hom}_R(M_i, N) \]

\[ \operatorname{Hom}_R\left( M, \prod_{j \in J} N_j \right) \cong \prod_{j \in J} \operatorname{Hom}_R(M, N_j) \]

这表明同态模可分解为分量的同态模的直积。

5. 直和分解与模的结构
模的直和分解是研究模结构的重要工具：

若 \(M = \bigoplus_{i \in I} M_i\)，则每个 \(M_i\) 是 \(M\) 的直和项，存在投影 \(p_i: M \to M_i\) 与单射 \(\iota_i: M_i \to M\) 满足 \(p_i \circ \iota_i = \mathrm{id}_{M_i}\)，且当 \(i \neq j\) 时 \(p_i \circ \iota_j = 0\)。
模 \(M\) 可分解为子模 \(N_1, \ldots, N_k\) 的直和当且仅当存在幂等自同态 \(e_1, \ldots, e_k \in \operatorname{End}_R(M)\) 使得 \(e_i e_j = 0\)（\(i \neq j\)）且 \(\sum e_i = \mathrm{id}_M\)，此时 \(N_i = e_i(M)\)。

6. 直和与直积的应用

自由模：任意自由模同构于基指标集上 \(R\) 的直和。
内射模与投射模：内射模的直积是内射模；投射模的直和是投射模。
不可分解模：若模不能写成两个非零子模的直和，则称为不可分解模。Krull-Schmidt 定理表明，在有限长度条件下，模的直和分解在重排与同构下唯一。

通过以上步骤，我们系统理解了模的直和与直积的定义、性质及其在模结构研究中的核心作用。

模的直和与直积我们先从模的基本结构开始理解。模的直和与直积是构造新模的两种基本方法，它们分别通过组合已知模来产生更大的模。 1. 直和与直积的定义设 \( R \) 是一个环，\(\{M_ i\}_ {i \in I}\) 是一族 \(R\)-模，其中 \(I\) 是指标集。直积（Direct Product）定义为： \[ \prod_ {i \in I} M_ i = \left\{ (m_ i)_ {i \in I} \middle| m_ i \in M_ i \right\} \] 其加法与标量乘法按分量进行：\((m_ i) + (m'_ i) = (m_ i + m'_ i)\)，\(r \cdot (m_ i) = (r \cdot m_ i)\)。直和（Direct Sum）是直积的一个子模： \[ \bigoplus_ {i \in I} M_ i = \left\{ (m_ i) {i \in I} \in \prod {i \in I} M_ i \middle| m_ i = 0 \text{ 对几乎所有 } i \right\} \] “几乎所有”表示仅有有限个 \(m_ i\) 非零。 2. 有限情况的等价性当 \(I\) 有限时，直和与直积一致：\(\bigoplus_ {i=1}^n M_ i = \prod_ {i=1}^n M_ i\)。无限情况下，直和是直积的真子模，因为直和要求分量几乎总为零。 3. 泛性质与结构特征直和与直积可通过泛性质刻画：直和的泛性质：对任意模 \(N\) 与同态族 \(f_ i: M_ i \to N\)，存在唯一同态 \(f: \bigoplus M_ i \to N\) 使得 \(f \circ \iota_ j = f_ j\)，其中 \(\iota_ j: M_ j \to \bigoplus M_ i\) 是典范单射（将 \(m_ j\) 映至第 \(j\) 分量为 \(m_ j\)、其余为零的元）。直积的泛性质：对任意模 \(N\) 与同态族 \(g_ i: N \to M_ i\)，存在唯一同态 \(g: N \to \prod M_ i\) 使得 \(\pi_ j \circ g = g_ j\)，其中 \(\pi_ j: \prod M_ i \to M_ j\) 是典范投影。这些性质体现了直和的“余积”与直积的“积”在范畴论中的对偶角色。 4. 直和与直积的同态模设 \(M = \bigoplus_ {i \in I} M_ i\)，\(N = \prod_ {j \in J} N_ j\)，则有同构： \[ \operatorname{Hom} R\left( \bigoplus {i \in I} M_ i, N \right) \cong \prod_ {i \in I} \operatorname{Hom} R(M_ i, N) \] \[ \operatorname{Hom} R\left( M, \prod {j \in J} N_ j \right) \cong \prod {j \in J} \operatorname{Hom}_ R(M, N_ j) \] 这表明同态模可分解为分量的同态模的直积。 5. 直和分解与模的结构模的直和分解是研究模结构的重要工具：若 \(M = \bigoplus_ {i \in I} M_ i\)，则每个 \(M_ i\) 是 \(M\) 的直和项，存在投影 \(p_ i: M \to M_ i\) 与单射 \(\iota_ i: M_ i \to M\) 满足 \(p_ i \circ \iota_ i = \mathrm{id}_ {M_ i}\)，且当 \(i \neq j\) 时 \(p_ i \circ \iota_ j = 0\)。模 \(M\) 可分解为子模 \(N_ 1, \ldots, N_ k\) 的直和当且仅当存在幂等自同态 \(e_ 1, \ldots, e_ k \in \operatorname{End}_ R(M)\) 使得 \(e_ i e_ j = 0\)（\(i \neq j\)）且 \(\sum e_ i = \mathrm{id}_ M\)，此时 \(N_ i = e_ i(M)\)。 6. 直和与直积的应用自由模：任意自由模同构于基指标集上 \(R\) 的直和。内射模与投射模：内射模的直积是内射模；投射模的直和是投射模。不可分解模：若模不能写成两个非零子模的直和，则称为不可分解模。Krull-Schmidt 定理表明，在有限长度条件下，模的直和分解在重排与同构下唯一。通过以上步骤，我们系统理解了模的直和与直积的定义、性质及其在模结构研究中的核心作用。