复变函数的柯西不等式与刘维尔定理 我们先从柯西不等式开始。柯西不等式给出了解析函数及其各阶导数在圆盘内的模的上界估计。设函数 \( f(z) \) 在区域 \( D \) 内解析，\( z_ 0 \in D \)，并且 \( f(z) \) 在闭圆盘 \( |z - z_ 0| \leq R \) 上解析。记 \( M(r) = \max_ {|z - z_ 0| = r} |f(z)| \)，其中 \( 0 < r \leq R \)。那么对于任意非负整数 \( n \)，\( f(z) \) 在 \( z_ 0 \) 处的 \( n \) 阶导数满足： \[ |f^{(n)}(z_ 0)| \leq \frac{n !}{r^n} M(r). \] 这个不等式可以通过柯西积分公式推导得到。柯西积分公式为： \[ f^{(n)}(z_ 0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_ {|z - z_ 0| = r} \frac{f(z)}{(z - z_ 0)^{n+1}} \, dz. \] 对上述积分取模，并利用积分估值引理，可得： \[ |f^{(n)}(z_ 0)| \leq \frac{n!}{2\pi} \oint_ {|z - z_ 0| = r} \frac{|f(z)|}{|z - z_ 0|^{n+1}} |dz| \leq \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M(r)}{r^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n !}{r^n} M(r). \] 柯西不等式是研究解析函数局部性质的重要工具，它表明导数的大小受函数在圆周上的最大模控制。 接下来，我们讨论刘维尔定理。刘维尔定理是复分析中的一个基本结果，它指出：有界整函数必为常数。这里，整函数是指在整个复平面 \( \mathbb{C} \) 上解析的函数。证明刘维尔定理可以利用柯西不等式。假设 \( |f(z)| \leq M \) 对所有 \( z \in \mathbb{C} \) 成立，其中 \( M \) 是正常数。对于任意 \( z_ 0 \in \mathbb{C} \) 和任意 \( r > 0 \)，由柯西不等式（取 \( n = 1 \)）有： \[ |f'(z_ 0)| \leq \frac{M}{r}. \] 由于 \( r \) 可以任意大，令 \( r \to \infty \)，得 \( |f'(z_ 0)| = 0 \)。由于 \( z_ 0 \) 是任意的，所以 \( f'(z) \equiv 0 \)，从而 \( f(z) \) 是常数。刘维尔定理在证明代数基本定理等领域有重要应用，例如，可以通过反证法证明非常数多项式必有根。 柯西不等式和刘维尔定理共同体现了解析函数的强约束性：局部导数受全局模控制，而全局有界性则迫使函数为常数。这些结果在复变函数理论中具有基础性地位，并为后续研究如值分布理论等提供了工具。