曲面的主曲率 我们先从曲面的基本几何概念开始。想象一个光滑的曲面，比如球面或马鞍面。在曲面上任意一点，我们可以定义一个单位法向量，它垂直于曲面在该点的切平面。 现在考虑通过该点的所有平面，这些平面都包含法向量。每个这样的平面与曲面相交，得到一条平面曲线，称为法截线。每条法截线在这一点都有一个曲率，称为法曲率。 当我们让包含法向量的平面绕法向量旋转时，法曲率会连续变化。在这些法曲率中，存在一个最大值和一个最小值，这两个极值就称为曲面在该点的主曲率。 主曲率对应的方向称为主方向。在大多数点，这两个主方向是相互垂直的。主曲率包含了曲面在该点弯曲程度的重要信息，它们是曲面的内蕴几何量。 主曲率的乘积就是高斯曲率，它决定了曲面在该点的局部形状：正的高斯曲率对应椭圆点（如球面），负的高斯曲率对应双曲点（如马鞍面），零的高斯曲率对应抛物点（如柱面）。 主曲率的平均值就是平均曲率，它与曲面的极小曲面性质密切相关。当两个主曲率相等时，该点称为脐点，所有方向都是主方向。