随机变量的变换的随机逼近方法 随机变量的变换的随机逼近方法是研究如何通过迭代随机更新来逼近目标变换后分布或统计量的方法。让我们从基础概念开始逐步深入。 第一步：理解随机逼近的基本思想 随机逼近是一种通过带噪声的观测值来求解方程的迭代方法。假设我们想要求解方程g(θ)=0，但无法直接观测g(θ)，只能观测到带有随机误差的H(θ,ξ)=g(θ)+噪声。随机逼近通过迭代θ_ {n+1}=θ_ n+a_ nH(θ_ n,ξ_ n)来逼近真实解，其中{a_ n}是递减的步长序列。 第二步：认识Robbins-Monro算法 这是随机逼近的最早形式，用于求解回归函数的根。设M(x)=E[ Y|X=x]，我们想求解M(x)=α。算法迭代式为：x_ {n+1}=x_ n+a_ n(Y_ n-α)，其中Y_ n是在x_ n处的观测，a_ n满足∑a_ n=∞且∑a_ n² <∞，保证收敛性。 第三步：理解Kiefer-Wolfowitz算法 这是用于估计函数极大值点的随机逼近方法。如果只能观测到带噪声的函数值，算法使用中心差分估计梯度：θ_ {n+1}=θ_ n+a_ n[ (Y_ n^+-Y_ n^-)/(2c_ n)]，其中Y_ n^±是在θ_ n±c_ n处的观测，c_ n→0是递减的序列。 第四步：掌握随机梯度下降的联系 随机梯度下降是随机逼近的特例，用于最小化目标函数L(θ)=E[ l(θ,ξ)]。迭代公式为θ_ {n+1}=θ_ n-a_ n∇_ θl(θ_ n,ξ_ n)，其中∇_ θl(θ_ n,ξ_ n)是随机梯度，是真实梯度的无偏估计。 第五步：学习应用在分布变换中的形式 当我们需要逼近变换后的分布特征时，设目标分布为π(x)，我们构造马尔可夫链{x_ n}使得其平稳分布是π。随机逼近形式为：x_ {n+1}=x_ n+a_ n[ f(x_ n)+ε_ n]，其中f确保链的稳定性，ε_ n是噪声项。 第六步：分析收敛条件 随机逼近的收敛需要满足几个关键条件：步长a_ n→0且∑a_ n=∞（保证到达稳定点），噪声ε_ n的协方差有界，漂移项f满足全局Lipschitz条件，以及适当的可测性条件。 第七步：理解ODE方法 随机逼近的渐近行为可以通过常微分方程(ODE)来分析。基本结论是，随机逼近序列的轨迹逼近于ODE dx/dt=f(x)的解。这是通过构造 interpolated process 和利用Arzela-Ascoli定理证明的。 第八步：掌握应用实例 考虑估计正态分布N(μ,1)的分位数变换。我们想找到x_ p使得Φ(x_ p)=p。随机逼近迭代为：x_ {n+1}=x_ n+a_ n[ I_ {ξ_ n≤x_ n}-p]，其中ξ_ n∼N(0,1)，I是指示函数。这个序列将几乎必然收敛到x_ p。 第九步：学习加速技巧 为了提高收敛速度，可以采用Polyak-Ruppert平均：在基本迭代基础上，计算θ̄_ n=(1/n)∑θ_ i。这种平均化可以显著减少方差，提高估计精度，特别是在高维问题中。 第十步：理解现代扩展 现代随机逼近包括自适应步长选择、动量加速、分布式异步更新等扩展。这些方法通过动态调整步长、引入历史梯度信息、并行化处理来提高大规模问题的求解效率。