图的谱半径与谱间隙 图的谱半径指的是图邻接矩阵的最大特征值的模。对于无向图而言，由于邻接矩阵是实对称矩阵，其特征值均为实数，此时谱半径即为最大特征值。谱半径反映了图在某种意义上的"扩张程度"，与图的连通性、最大度等参数有密切关系。 谱半径的计算可通过特征多项式求解，但实际应用中多采用数值方法。一个关键性质是：若图G的顶点最大度为Δ，则其谱半径ρ(G)满足√Δ ≤ ρ(G) ≤ Δ，且等号成立的条件与图的正则性相关。当图是连通的d-正则图时，谱半径恰好等于d。 谱间隙（代数连通度）是指图的拉普拉斯矩阵次小特征值。对于连通图，拉普拉斯矩阵的最小特征值为0，次小特征值λ2>0。谱间隙的大小直接反映了图的连通强度——λ2越大，图的连通性越强，要将图分割成两个部分所需切断的边就越多。 谱间隙与图的等周常数、扩张性等组合参数有深刻联系。较大的谱间隙意味着图具有更好的扩展性，这在网络设计、误差校正码等领域有重要应用。通过研究谱间隙的上下界，可以推导出图的直径、平均距离等度量参数的界。 谱半径与谱间隙共同构成了图谱理论的核心内容，它们通过代数方法揭示了图的结构特征，为理解复杂网络的动态过程（如随机游走、传播动力学）提供了数学基础。