傅里叶变换在随机波动率模型下的期权定价 傅里叶变换在金融数学中是一种强大的数学工具，特别适用于处理随机波动率模型下的期权定价问题。接下来我将分步骤说明其核心原理和应用方法。 第一步：随机波动率模型的基本框架 随机波动率模型假设资产价格遵循几何布朗运动，但波动率本身也是一个随机过程。以赫斯顿模型为例，其动态系统为： dSₜ = μSₜdt + √vₜSₜdWₜ¹ dvₜ = κ(θ-vₜ)dt + σ√vₜdWₜ² 其中两个布朗运动满足dWₜ¹dWₜ² = ρdt。这种设定能更真实地反映市场观察到的波动率聚类和微笑现象。 第二步：特征函数的关键作用 在随机波动率模型中，资产价格的概率密度函数往往没有显式表达式，但其特征函数（即傅里叶变换）可以通过解析方法求得。对于赫斯顿模型，特征函数可表示为： φ(u) = E[ e^{iu\ln Sₜ} ] = exp(C(u,τ) + D(u,τ)v₀ + iu\ln S₀) 其中系数C、D满足特定的黎卡提微分方程，具有封闭解。这个特征函数本质上包含了资产收益率的全部概率分布信息。 第三步：傅里叶反演定价技术 利用特征函数，可以通过傅里叶反演计算期权价值。以欧式看涨期权为例，其价格可表示为： C = e^{-rτ}E[ (Sₜ-K)⁺ ] = S₀Π₁ - Ke^{-rτ}Π₂ 其中概率项Π₁、Π₂可通过傅里叶反演公式计算： Πⱼ = 1/2 + 1/π∫₀^∞ Re[ e^{-iu\ln K}φⱼ(u)/(iu) ]du 这里φⱼ(u)是经过调整的特征函数，对应不同的概率测度。 第四步：数值实现方法 实际应用中需要采用数值积分方法。推荐使用余弦展开方法（COS方法），将积分核用余弦基函数展开，利用特征函数与傅里叶系数的关系，可将期权价格近似为： C ≈ e^{-rτ}∑'_ {k=0}^{N-1}Re[ φ(kπ/(b-a))e^{-ikπa/(b-a)} ]Fₖ 其中∑'表示首项系数减半，Fₖ是余弦级数系数。这种方法具有指数收敛速度，且计算效率显著高于蒙特卡洛模拟。 第五步：模型校准与应用扩展 基于傅里叶变换的定价框架使得模型校准变得高效。通过最小化模型隐含波动率与市场观测值的差异，可以快速估计模型参数。进一步地，该方法可扩展至带跳跃的随机波动率模型，只需在特征函数中加入跳跃成分的傅里叶变换即可。