复变函数的柯西型积分与边值问题 我们先从柯西型积分的定义开始。设 \( L \) 是复平面上一条分段光滑曲线（可以是封闭或非封闭），函数 \( f(\zeta) \) 在 \( L \) 上可积。定义函数 \[ F(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_ L \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} \, d\zeta \] 为柯西型积分。这里的 \( z \) 不在 \( L \) 上。当 \( z \) 在 \( L \) 外时，\( F(z) \) 是解析的，这由被积函数关于 \( z \) 的解析性以及积分与极限交换的性质保证。 接下来，我们考虑 \( z \) 趋近 \( L \) 时的边界性质。设 \( L \) 是简单光滑闭曲线，\( f(\zeta) \) 在 \( L \) 上满足赫尔德条件，即存在常数 \( A > 0 \) 和 \( 0 < \alpha \le 1 \)，使得对任意 \( \zeta_ 1, \zeta_ 2 \in L \)，有 \[ |f(\zeta_ 1) - f(\zeta_ 2)| \le A |\zeta_ 1 - \zeta_ 2|^\alpha. \] 此时，柯西型积分在 \( L \) 内外有边界值，分别记为 \( F^+(t) \) 和 \( F^-(t) \)（\( t \in L \)），满足普莱梅尔－索霍茨基公式： \[ F^+(t) = \frac{1}{2} f(t) + \frac{1}{2\pi i} \text{v.p.} \int_ L \frac{f(\zeta)}{\zeta - t} \, d\zeta, \] \[ F^-(t) = -\frac{1}{2} f(t) + \frac{1}{2\pi i} \text{v.p.} \int_ L \frac{f(\zeta)}{\zeta - t} \, d\zeta, \] 其中 \( \text{v.p.} \) 表示柯西主值积分。两式相减得到跳跃公式： \[ F^+(t) - F^-(t) = f(t). \] 这说明柯西型积分在穿过边界 \( L \) 时，其跳跃等于密度函数 \( f(t) \)。 进一步，我们可以利用柯西型积分求解边值问题。例如，考虑黎曼边值问题：寻找在 \( L \) 内解析的函数 \( \Phi^+(z) \) 和在 \( L \) 外解析的函数 \( \Phi^-(z) \)（包括无穷远处），使得在 \( L \) 上满足 \[ \Phi^+(t) = G(t) \Phi^-(t) + g(t), \quad t \in L, \] 其中 \( G(t) \) 和 \( g(t) \) 是已知的赫尔德连续函数，且 \( G(t) \neq 0 \)。该问题的解可通过柯西型积分表示为： \[ \Phi(z) = X(z) \left[ \Psi(z) + P(z) \right ], \] 这里 \( X(z) \) 是齐次问题的标准解（与 \( G(t) \) 的指标有关），\( \Psi(z) \) 是由 \( g(t) \) 和 \( X(z) \) 构造的柯西型积分，\( P(z) \) 是多项式（由指标决定自由度）。 最后，柯西型积分在奇异积分方程理论中也有重要应用。例如，考虑方程 \[ a(t) \varphi(t) + \frac{b(t)}{\pi i} \text{v.p.} \int_ L \frac{\varphi(\zeta)}{\zeta - t} \, d\zeta = c(t), \] 通过转化为黎曼边值问题，可求得解的表达形式。这类方程在弹性力学、流体力学等领域常见，体现了柯西型积分作为连接解析函数与边值问题的桥梁作用。