随机规划中的随机拟蒙特卡洛方法

1. 基础概念引入
   随机拟蒙特卡洛方法是一种结合拟蒙特卡洛方法与随机规划的数值技术。在随机规划中，常需计算高维积分（例如期望目标函数），传统蒙特卡洛方法使用随机采样，而拟蒙特卡洛方法通过低差异序列（如Sobol序列、Halton序列）生成更均匀分布的样本点，从而提升收敛速度。

2. 低差异序列的核心原理
   低差异序列通过确定性构造使样本点均匀覆盖积分区域，其差异度（Discrepancy）远低于随机采样。例如，Sobol序列基于二进制扩展的递推生成，避免随机采样的聚类现象。对于d维积分，拟蒙特卡洛的收敛速度可达O((log N)^d / N)，优于蒙特卡洛的O(1/√N)。

3. 在随机规划中的具体应用
   以两阶段随机规划为例，目标函数包含期望值：
   min f(x) + E[Q(x,ξ)]
   其中Q(x,ξ)为第二阶段价值函数。使用拟蒙特卡洛方法时，从低差异序列生成场景ξ₁,…,ξ_N，以样本平均近似期望：
   E[Q(x,ξ)] ≈ (1/N) ∑ Q(x,ξ_i)
   通过序列的均匀性，在相同样本量下可降低近似误差。

4. 随机化扩展与误差控制
   纯拟蒙特卡洛缺乏随机性，难以直接估计误差。为此引入随机化拟蒙特卡洛：对低差异序列施加随机变换（如随机平移、洗牌），生成多组独立序列，通过统计方差计算置信区间。此举兼顾低差异性与误差可测性。

5. 高维问题的适应性优化
   拟蒙特卡洛在极高维时可能效率下降。改进策略包括：

   • 使用有效维度缩减技术（如ANOVA分解），聚焦主要变量维度；
   • 结合重要性采样，调整序列权重以聚焦关键概率区域；
   • 与稀疏网格积分结合，进一步压缩计算负担。

6. 收敛性理论与实际局限
   理论证明，对于满足有界变差（Hardy-Krause意义）的函数，随机化拟蒙特卡洛几乎必然收敛，且常数项独立于维度。实际应用中需注意：低差异序列对积分区域的边界敏感，且对非光滑函数可能需结合平滑技巧。