模形式的自守L函数的p进L函数与Iwasawa理论 我们先从模形式与自守L函数的基本联系开始。设f是一个权为k、级为N的模形式，其傅里叶展开为f(z) = ∑aₙe²πᶦⁿᶻ。对应的自守L函数定义为L(f,s) = ∑aₙn⁻ˢ。这个L函数在复平面上有解析延拓和函数方程。 现在考虑这个L函数在素数p处的p进性质。固定一个素数p，我们想要构造L(f,s)的p进类比。关键思想是将L(f,s)视为p进变量而非复变量的函数。这需要三个步骤：(1)选择适当的p进周期；(2)插值L函数的特殊值；(3)建立p进解析函数。 具体来说，设α是Hecke算子T_ p在f上作用的特征值。我们要求|α|ₚ < 1（p进绝对值），这对应于f在p处是寻常型的情况。然后我们考虑L(f,χ,1)对于狄利克雷特征χ的取值，其中χ是模pⁿ的乘性特征。 Iwasawa理论的核心对象是p进L函数Lₚ(f,s)，其中s是p进变量（s ∈ ℤₚ）。这个函数由以下插值性质唯一确定：对于所有偶狄利克雷特征χ和整数1 ≤ j ≤ k-1，有 Lₚ(f,χ,j) = (某明确定义的代数因子) × L(f,χ,j) 这里的代数因子包含p进周期、高斯和和欧拉因子，确保右边是p进整数。 构造p进L函数的方法是通过在权空间中插值。考虑模形式的权空间，即所有p进整数权的空间。对于每个算术点（对应整数权），我们可以考虑相应权的模形式族。然后在权空间上构造一个p进解析函数，其在经典点处的取值与经典L函数的特殊值一致。 p进L函数满足函数方程，将Lₚ(f,s)与Lₚ(fᵖ,k-s)联系起来，其中fᵖ是对偶形式。这个函数方程在p进分析中起着关键作用。 在Iwasawa理论中，p进L函数与模曲线雅可比簇的p进伽罗瓦表示密切相关。具体来说，Lₚ(f,s)可以视为某个p进伽罗瓦群的特征函数，其零点位置编码了算术信息。 p进L函数在s = k/2处的取值特别重要，这与BSD猜想相关。更一般地，Lₚ(f,s)在整数点的取值与模形式的周期和特殊值有关。 Iwasawa理论还研究了p进L函数在分圆域中的行为。考虑分圆扩张ℚ(μ_ {p^∞})，其伽罗瓦群同构于ℤₚ。相应的Iwasawa代数上的特征，对应着p进L函数的分量。 p进L函数的零点分布与模形式的算术性质密切相关。特别是，当Lₚ(f,k/2) = 0时，这通常表明存在某种异常同源类或非平凡沙群元素。 最后，p进L函数在p进分析中有重要的应用，包括在p进BSD猜想、p进迹公式和p进朗兰兹纲领中。它们为研究模形式的算术性质提供了强有力的p进工具。