随机变量的变换的随机化响应方法

随机化响应方法是一种在调查中保护受访者隐私的技术，特别适用于收集敏感信息（如违法行为、个人隐私等）。其核心思想是通过引入随机化机制，使研究者无法确定单个受访者的真实回答，从而鼓励更诚实的响应，同时仍能通过概率方法推断总体特征。

1. 基本思想与设计
   • 假设要调查一个敏感问题（如“你是否曾经作弊？”），直接询问可能导致不真实回答。
   • 随机化响应方法要求受访者根据一个随机化装置（如掷骰子、抽卡片）决定回答以下两者之一：

• 真实回答敏感问题（概率为 \(p\)）；
• 一个固定回答（如“是”，概率为 \(1-p\)）。
  • 例如：掷一枚骰子，若出现1或2（概率 \(p = 1/3\)），则回答真实情况；若出现3–6（概率 \(2/3\)），则直接回答“是”。
  • 由于研究者不知道每次响应对应的随机结果，单个受访者的隐私得到保护。

2. 数据收集与概率模型
   • 设敏感属性 \(A\) 的总体比例为 \(\pi\)（待估计），随机化装置中回答“是”的总概率为 \(\lambda\)。
   • 根据全概率公式，观测到“是”回答的概率为：

\[ \lambda = p \cdot \pi + (1-p) \cdot q \]

其中 \(q\) 是随机化装置中指定回答“是”的概率（上例中 \(q=1\)）。

• 通过收集 \(n\) 个响应，其中“是”的回答数为 \(n_1\)，可得 \(\hat{\lambda} = n_1 / n\)。

3. 参数估计与性质
   • 根据 \(\hat{\lambda}\) 解出 \(\pi\) 的估计量：

\[ \hat{\pi} = \frac{\hat{\lambda} - (1-p)q}{p} \]

• 该估计量是无偏的，且方差为：

\[ \mathrm{Var}(\hat{\pi}) = \frac{\lambda(1-\lambda)}{np^2} \]

• 通过优化 \(p\) 和 \(q\) 可以权衡估计效率与隐私保护程度。

4. 隐私保护度量
   • 常用“隐私保护水平”量化方法的有效性，例如：
     • 攻击者即使观测到“是”回答，也无法确定它来自真实情况还是随机化装置。

• 隐私泄露概率可计算为条件概率 \(P(\text{真实} \mid \text{响应})\)。

5. 扩展模型与应用
   • 无关问题模型：随机化装置可能要求回答一个无关的非敏感问题（如“你的生日在1月吗？”），进一步降低可追溯性。
   • 多类别与定量变量：方法可推广到多值敏感属性或连续变量（如收入分级）。
   • 现代应用：结合密码学或差分隐私，用于大规模数据收集中的隐私保护。

随机化响应方法通过巧妙的概率设计，在个体隐私与统计推断之间实现了平衡，已成为敏感问题调查和隐私增强技术中的重要工具。