模的Krull维数

字数 2912 2025-11-15 03:11:46

模的Krull维数

我将为你详细讲解模的Krull维数的概念，这是一个在交换代数中非常重要的不变量。

第一步：从环的Krull维数出发

要理解模的Krull维数，我们首先需要回顾环的Krull维数的定义。对于一个交换环 \(R\)（通常假设是含幺交换环），其Krull维数定义为该环中素理想链的最大长度。更精确地说：

考虑一个有限的素理想链：\(\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_n\)。
这个链的长度定义为 \(n\)（即真包含发生的次数，而不是理想的数量）。
环 \(R\) 的Krull维数 \(\dim(R)\) 是所有这样的素理想链长度的上确界（可能为无穷大）。

示例：

域 \(k\) 的Krull维数为0，因为它的素理想只有 \((0)\)。
主理想整环（如整数环 \(\mathbb{Z}\) 或多项式环 \(k[x]\)）的Krull维数为1。例如，在 \(\mathbb{Z}\) 中，有链 \((0) \subsetneq (p)\)，其中 \(p\) 是素数。

第二步：引入模的支撑集

现在，我们将这个概念推广到模上。设 \(M\) 是环 \(R\) 上的一个模。我们首先定义模 \(M\) 的支撑集：

模 \(M\) 的支撑集 \(\operatorname{Supp}(M)\) 是 \(R\) 中所有满足 \(M_{\mathfrak{p}} \neq 0\) 的素理想 \(\mathfrak{p}\) 的集合。这里 \(M_{\mathfrak{p}}\) 表示模 \(M\) 在素理想 \(\mathfrak{p}\) 处的局部化。

直观上，支撑集描述了模 \(M\) 在环的各个素理想处“存活”的情况。如果 \(M_{\mathfrak{p}} = 0\)，意味着模 \(M\) 在局部化后变为零，即 \(M\) 在 \(\mathfrak{p}\) 处“消失”了。

第三步：定义模的Krull维数

模 \(M\) 的Krull维数是通过其支撑集来定义的。具体来说：

模 \(M\) 的Krull维数 \(\dim(M)\) 定义为支撑集 \(\operatorname{Supp}(M)\) 中素理想链的最大长度。即：

\[ \dim(M) = \sup \{ n \mid \exists \mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_n, \ \mathfrak{p}_i \in \operatorname{Supp}(M) \} \]

这里，上确界取遍所有包含在 \(\operatorname{Supp}(M)\) 中的素理想链。

重要观察：

如果我们将 \(R\) 视为自身的模（即 \(M = R\)），那么 \(\operatorname{Supp}(R)\) 就是 \(R\) 的所有素理想的集合（因为对任意素理想 \(\mathfrak{p}\)，有 \(R_{\mathfrak{p}} \neq 0\)）。因此，环 \(R\) 作为模的Krull维数就是环 \(R\) 自身的Krull维数。
更一般地，模 \(M\) 的Krull维数可以理解为模 \(M\) 在环的素理想谱中“占据”的几何区域的维度。

第四步：基本性质与计算

零模的维数：如果 \(M = 0\)，则 \(\operatorname{Supp}(M) = \emptyset\)，我们通常定义 \(\dim(0) = -\infty\) 或 \(-1\)（取决于约定）。
循环模的维数：对于循环模 \(M = R/I\)（其中 \(I\) 是 \(R\) 的理想），其支撑集 \(\operatorname{Supp}(R/I)\) 就是包含 \(I\) 的所有素理想的集合。这恰好是商环 \(R/I\) 的素理想谱。因此：

\[ \dim(R/I) = \dim(R/I) \]

即，循环模 \(R/I\) 的Krull维数等于商环 \(R/I\) 的Krull维数。

子模与商模：如果 \(0 \to M' \to M \to M'' \to 0\) 是一个短正合序列，那么 \(\operatorname{Supp}(M) = \operatorname{Supp}(M') \cup \operatorname{Supp}(M'')\)。因此：

\[ \dim(M) = \max\{ \dim(M'), \dim(M'') \} \]

局部环上的模：当 \(R\) 是局部环，其极大理想为 \(\mathfrak{m}\)，并且 \(M\) 是有限生成 \(R\)-模时，模 \(M\) 的Krull维数有一个重要的刻画：它等于 \(M\) 的希尔伯特-萨缪尔函数的多项式次数，或者等价地，等于使得 \(\operatorname{Ext}^i_R(R/\mathfrak{m}, M) \neq 0\) 的最大整数 \(i\)。

第五步：示例与应用

简单示例：设 \(R = k[x, y]\)（多项式环），\(M = R/(x)\)。则 \(\operatorname{Supp}(M)\) 由所有包含 \((x)\) 的素理想组成，即形如 \((x, f(y))\) 的素理想（其中 \(f(y)\) 是 \(k[y]\) 中的不可约多项式）。最长的素理想链为 \((x) \subsetneq (x, y)\)，长度为1。因此 \(\dim(M) = 1\)。
在代数几何中的应用：在代数几何中，一个仿射代数簇 \(X\) 的坐标环 \(A(X)\) 的Krull维数等于簇 \(X\) 的几何维数。类似地，对于一个凝聚层 \(\mathcal{F}\)，其模的Krull维数反映了该层支撑集的几何维度。
在交换代数中的应用：Krull维数是研究诺特环和模的重要工具。例如，在局部环上，Krull维数与深度（depth）结合，可以定义科恩-麦考莱环（Cohen-Macaulay ring），这类环具有许多良好的性质。

通过以上步骤，我们循序渐进地介绍了模的Krull维数，从环的Krull维数出发，引入模的支撑集，给出模的Krull维数的定义，讨论其基本性质，并举例说明其计算和应用。这个概念将环的维度理论推广到了模上，是研究模的结构和分类的重要工具。

模的Krull维数我将为你详细讲解模的Krull维数的概念，这是一个在交换代数中非常重要的不变量。第一步：从环的Krull维数出发要理解模的Krull维数，我们首先需要回顾环的Krull维数的定义。对于一个交换环 \( R \)（通常假设是含幺交换环），其Krull维数定义为该环中素理想链的最大长度。更精确地说：考虑一个有限的素理想链：\( \mathfrak{p}_ 0 \subsetneq \mathfrak{p}_ 1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_ n \)。这个链的长度定义为 \( n \)（即真包含发生的次数，而不是理想的数量）。环 \( R \) 的Krull维数 \( \dim(R) \) 是所有这样的素理想链长度的上确界（可能为无穷大）。示例：域 \( k \) 的Krull维数为0，因为它的素理想只有 \( (0) \)。主理想整环（如整数环 \( \mathbb{Z} \) 或多项式环 \( k[ x ] \)）的Krull维数为1。例如，在 \( \mathbb{Z} \) 中，有链 \( (0) \subsetneq (p) \)，其中 \( p \) 是素数。第二步：引入模的支撑集现在，我们将这个概念推广到模上。设 \( M \) 是环 \( R \) 上的一个模。我们首先定义模 \( M \) 的支撑集：模 \( M \) 的支撑集 \( \operatorname{Supp}(M) \) 是 \( R \) 中所有满足 \( M_ {\mathfrak{p}} \neq 0 \) 的素理想 \( \mathfrak{p} \) 的集合。这里 \( M_ {\mathfrak{p}} \) 表示模 \( M \) 在素理想 \( \mathfrak{p} \) 处的局部化。直观上，支撑集描述了模 \( M \) 在环的各个素理想处“存活”的情况。如果 \( M_ {\mathfrak{p}} = 0 \)，意味着模 \( M \) 在局部化后变为零，即 \( M \) 在 \( \mathfrak{p} \) 处“消失”了。第三步：定义模的Krull维数模 \( M \) 的Krull维数是通过其支撑集来定义的。具体来说：模 \( M \) 的Krull维数 \( \dim(M) \) 定义为支撑集 \( \operatorname{Supp}(M) \) 中素理想链的最大长度。即： \[ \dim(M) = \sup \{ n \mid \exists \mathfrak{p}_ 0 \subsetneq \mathfrak{p}_ 1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_ n, \ \mathfrak{p}_ i \in \operatorname{Supp}(M) \} \] 这里，上确界取遍所有包含在 \( \operatorname{Supp}(M) \) 中的素理想链。重要观察：如果我们将 \( R \) 视为自身的模（即 \( M = R \)），那么 \( \operatorname{Supp}(R) \) 就是 \( R \) 的所有素理想的集合（因为对任意素理想 \( \mathfrak{p} \)，有 \( R_ {\mathfrak{p}} \neq 0 \)）。因此，环 \( R \) 作为模的Krull维数就是环 \( R \) 自身的Krull维数。更一般地，模 \( M \) 的Krull维数可以理解为模 \( M \) 在环的素理想谱中“占据”的几何区域的维度。第四步：基本性质与计算零模的维数：如果 \( M = 0 \)，则 \( \operatorname{Supp}(M) = \emptyset \)，我们通常定义 \( \dim(0) = -\infty \) 或 \( -1 \)（取决于约定）。循环模的维数：对于循环模 \( M = R/I \)（其中 \( I \) 是 \( R \) 的理想），其支撑集 \( \operatorname{Supp}(R/I) \) 就是包含 \( I \) 的所有素理想的集合。这恰好是商环 \( R/I \) 的素理想谱。因此： \[ \dim(R/I) = \dim(R/I) \] 即，循环模 \( R/I \) 的Krull维数等于商环 \( R/I \) 的Krull维数。子模与商模：如果 \( 0 \to M' \to M \to M'' \to 0 \) 是一个短正合序列，那么 \( \operatorname{Supp}(M) = \operatorname{Supp}(M') \cup \operatorname{Supp}(M'') \)。因此： \[ \dim(M) = \max\{ \dim(M'), \dim(M'') \} \] 局部环上的模：当 \( R \) 是局部环，其极大理想为 \( \mathfrak{m} \)，并且 \( M \) 是有限生成 \( R \)-模时，模 \( M \) 的Krull维数有一个重要的刻画：它等于 \( M \) 的希尔伯特-萨缪尔函数的多项式次数，或者等价地，等于使得 \( \operatorname{Ext}^i_ R(R/\mathfrak{m}, M) \neq 0 \) 的最大整数 \( i \)。第五步：示例与应用简单示例：设 \( R = k[ x, y] \)（多项式环），\( M = R/(x) \)。则 \( \operatorname{Supp}(M) \) 由所有包含 \( (x) \) 的素理想组成，即形如 \( (x, f(y)) \) 的素理想（其中 \( f(y) \) 是 \( k[ y ] \) 中的不可约多项式）。最长的素理想链为 \( (x) \subsetneq (x, y) \)，长度为1。因此 \( \dim(M) = 1 \)。在代数几何中的应用：在代数几何中，一个仿射代数簇 \( X \) 的坐标环 \( A(X) \) 的Krull维数等于簇 \( X \) 的几何维数。类似地，对于一个凝聚层 \( \mathcal{F} \)，其模的Krull维数反映了该层支撑集的几何维度。在交换代数中的应用：Krull维数是研究诺特环和模的重要工具。例如，在局部环上，Krull维数与深度（depth）结合，可以定义科恩-麦考莱环（Cohen-Macaulay ring），这类环具有许多良好的性质。通过以上步骤，我们循序渐进地介绍了模的Krull维数，从环的Krull维数出发，引入模的支撑集，给出模的Krull维数的定义，讨论其基本性质，并举例说明其计算和应用。这个概念将环的维度理论推广到了模上，是研究模的结构和分类的重要工具。