随机变量的变换的Wishart分布
字数 1236 2025-11-15 02:55:52

随机变量的变换的Wishart分布

我们先来理解Wishart分布的背景。当研究多个随机变量时，我们常需要分析它们之间的协方差关系。Wishart分布正是描述样本协方差矩阵的分布，特别适用于多元正态分布的情形。

  1. 定义与基本概念
    • 设\(X_1, X_2, \dots, X_n\)为独立同分布的\(p\)维随机向量，且均服从多元正态分布\(N_p(\mu, \Sigma)\)，其中\(\Sigma\)为\(p \times p\)的协方差矩阵。
    • 样本协方差矩阵\(S\)定义为：

\[ S = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(X_i - \bar{X})^T \]

其中\(\bar{X}\)为样本均值。

  • 若考虑未中心化的形式，定义矩阵\(W = \sum_{i=1}^n X_i X_i^T\)，则\(W\)服从自由度为\(n\)、尺度矩阵为\(\Sigma\)的Wishart分布，记作\(W \sim W_p(n, \Sigma)\)。
  1. 概率密度函数
    • 当\(n \ge p\)且\(\Sigma\)正定时，Wishart分布的概率密度函数为：

\[ f(W) = \frac{|W|^{(n-p-1)/2} \exp\left(-\frac{1}{2} \text{tr}(\Sigma^{-1} W)\right)}{2^{np/2} |\Sigma|^{n/2} \Gamma_p(n/2)} \]

 其中：
  • \(|\cdot|\)表示矩阵的行列式，
  • \(\text{tr}(\cdot)\)为矩阵的迹，
  • \(\Gamma_p\)为多元Gamma函数，定义为：

\[ \Gamma_p(a) = \pi^{p(p-1)/4} \prod_{j=1}^p \Gamma\left(a - \frac{j-1}{2}\right) \]

  1. 性质与特例

    • 均值：\(E[W] = n\Sigma\)。
    • 可加性：若\(W_1 \sim W_p(n_1, \Sigma)\)和\(W_2 \sim W_p(n_2, \Sigma)\)相互独立，则\(W_1 + W_2 \sim W_p(n_1 + n_2, \Sigma)\)。
    • 当\(p = 1\)且\(\Sigma = 1\)时，Wishart分布退化为卡方分布\(\chi_n^2\)。

  2. 应用与关联

    • Wishart分布广泛用于多元统计推断，如：
      • 假设检验：检验协方差矩阵是否等于某特定矩阵。
      • 主成分分析：分析样本协方差矩阵的特征值分布。
      • 贝叶斯统计：作为协方差矩阵的共轭先验分布。
    • 它与Hotelling's \(T^2\)分布、Wilks' Lambda分布等密切相关，共同构成多元分析的基础。
随机变量的变换的Wishart分布 我们先来理解Wishart分布的背景。当研究多个随机变量时，我们常需要分析它们之间的协方差关系。Wishart分布正是描述样本协方差矩阵的分布，特别适用于多元正态分布的情形。 定义与基本概念 设\( X_ 1, X_ 2, \dots, X_ n \)为独立同分布的\( p \)维随机向量，且均服从多元正态分布\( N_ p(\mu, \Sigma) \)，其中\( \Sigma \)为\( p \times p \)的协方差矩阵。 样本协方差矩阵\( S \)定义为： \[ S = \frac{1}{n-1} \sum_ {i=1}^n (X_ i - \bar{X})(X_ i - \bar{X})^T \] 其中\( \bar{X} \)为样本均值。 若考虑未中心化的形式，定义矩阵\( W = \sum_ {i=1}^n X_ i X_ i^T \)，则\( W \)服从自由度为\( n \)、尺度矩阵为\( \Sigma \)的Wishart分布，记作\( W \sim W_ p(n, \Sigma) \)。 概率密度函数 当\( n \ge p \)且\( \Sigma \)正定时，Wishart分布的概率密度函数为： \[ f(W) = \frac{|W|^{(n-p-1)/2} \exp\left(-\frac{1}{2} \text{tr}(\Sigma^{-1} W)\right)}{2^{np/2} |\Sigma|^{n/2} \Gamma_ p(n/2)} \] 其中： \( |\cdot| \)表示矩阵的行列式， \( \text{tr}(\cdot) \)为矩阵的迹， \( \Gamma_ p \)为多元Gamma函数，定义为： \[ \Gamma_ p(a) = \pi^{p(p-1)/4} \prod_ {j=1}^p \Gamma\left(a - \frac{j-1}{2}\right) \] 性质与特例 均值 ：\( E[ W ] = n\Sigma \)。 可加性 ：若\( W_ 1 \sim W_ p(n_ 1, \Sigma) \)和\( W_ 2 \sim W_ p(n_ 2, \Sigma) \)相互独立，则\( W_ 1 + W_ 2 \sim W_ p(n_ 1 + n_ 2, \Sigma) \)。 当\( p = 1 \)且\( \Sigma = 1 \)时，Wishart分布退化为卡方分布\( \chi_ n^2 \)。 应用与关联 Wishart分布广泛用于多元统计推断，如： 假设检验 ：检验协方差矩阵是否等于某特定矩阵。 主成分分析 ：分析样本协方差矩阵的特征值分布。 贝叶斯统计 ：作为协方差矩阵的共轭先验分布。 它与Hotelling's \( T^2 \)分布、Wilks' Lambda分布等密切相关，共同构成多元分析的基础。