生物数学中的基因表达随机脉冲模型 在生物数学中，基因表达随机脉冲模型用于描述基因表达过程中出现的随机、间歇性的激活现象。这种模型特别适用于研究基因表达在单细胞水平上的动态波动，其中基因的转录活动不是连续的，而是以随机脉冲的形式发生。 首先，我们来理解基因表达的基本过程。基因表达包括转录和翻译两个主要步骤，其中DNA的信息被转录为RNA，再翻译为蛋白质。在传统的确定性模型中，基因表达通常被视为一个连续、平滑的过程。然而，实验观察显示，在许多生物系统中，基因表达表现出显著的随机性，特别是在低表达水平时，这种随机性可能导致细胞间的异质性。 接下来，我们引入随机性的概念。在基因表达中，随机性可能源于多种因素，如转录因子结合的随机性、RNA聚合酶的随机启动等。随机脉冲模型将这些随机事件建模为点过程，其中基因的激活事件在时间上以随机间隔发生。每个激活事件可能导致一次或多次转录爆发，产生一定数量的mRNA分子。 然后，我们构建随机脉冲模型的数学框架。通常，这种模型采用随机过程来描述，如泊松过程或更新过程。假设基因的激活事件服从一个随机点过程，例如强度为λ的泊松过程。每次激活时，基因可能以一定的概率分布产生mRNA分子，例如几何分布或泊松分布。这导致mRNA的积累过程是一个复合泊松过程，其中mRNA的数量随时间随机增加，同时考虑mRNA的降解过程，通常假设为一级动力学，降解速率常数为γ。 进一步，我们可以推导mRNA数量的概率分布。通过建立主方程（master equation）来描述mRNA数量的时间演化，并求解稳态分布。例如，在简单的脉冲模型中，mRNA数量的稳态分布可能为负二项分布，其参数取决于脉冲速率、每次脉冲产生的平均mRNA数以及降解速率。这种分布能够捕捉基因表达中的过度分散现象，即方差大于均值。 最后，我们讨论模型的应用和扩展。随机脉冲模型已广泛应用于解释单细胞RNA测序数据中的基因表达变异，并用于研究细胞命运决策、发育过程等。模型可以进一步扩展，例如引入时变脉冲速率、耦合到蛋白质水平、或考虑多基因调控网络，以更精确地描述生物系统的动态行为。