复变函数的全纯域与全纯凸性 全纯域与全纯凸性是复分析中描述区域几何性质与全纯函数性质关联的核心概念。下面逐步展开说明： 1. 全纯域的定义 背景需求 ：在单复变函数中，任何区域都是全纯域（即全纯函数在该区域上总可解析延拓到更大区域）。但在多复变函数中，存在非全纯域（如哈托格斯域），使得某些全纯函数无法延拓到更大区域。 严格定义 ：若区域 \( D \subset \mathbb{C}^n \) 满足对任意邻域 \( U \supset D \) 和 \( U \) 上全纯的函数 \( f \)，存在 \( D \) 上的全纯函数 \( g \) 使得 \( f|_ D = g \)，则称 \( D \) 为全纯域。 核心意义 ：全纯域是“最大自然定义域”，避免函数被意外延拓到边界外。 2. 全纯凸性的引入 几何动机 ：全纯凸性是全纯域的等价刻画工具，用于判断区域是否具有“全纯完整性”。 定义步骤 ： 全纯凸包 ：对区域 \( D \) 的紧子集 \( K \)，定义其全纯凸包为： \[ \hat{K} D = \{ z \in D \mid |f(z)| \leq \sup {w \in K} |f(w)|, \forall f \in \mathcal{O}(D) \} \] 其中 \( \mathcal{O}(D) \) 是 \( D \) 上全纯函数集合。 全纯凸性 ：若对任意紧子集 \( K \subset D \)，其全纯凸包 \( \hat{K}_ D \) 仍是 \( D \) 的紧子集，则称 \( D \) 为全纯凸的。 3. 全纯凸性的几何解释 类比实凸性 ：实凸性要求点的线段连接在集合内，全纯凸性要求“全纯函数控制的点”不超出集合边界。 例子对比 ： 全纯凸区域 ：复平面中的圆盘、多圆盘。 非全纯凸区域 ：环形区域（如 \( 0 < |z| < 1 \)）不是全纯凸的，因为全纯凸包可能触及内边界。 4. 全纯域与全纯凸性的等价性 嘉当-苏伦定理（Cartan-Thullen定理） ：对区域 \( D \subset \mathbb{C}^n \)，以下条件等价： \( D \) 是全纯域。 \( D \) 是全纯凸的。 \( D \) 是全纯完备的（即存在全纯函数使得 \( D \) 是其最大存在域）。 意义 ：该定理将函数论性质（全纯域）与几何性质（全纯凸性）统一，为研究多复变函数提供核心工具。 5. 全纯凸性的判别方法 莱维凸性 ：若区域 \( D \) 的边界局部可由全纯函数定义，且满足莱维条件（边界二次型半正定），则 \( D \) 是全纯凸的。 应用场景 ：在施泰因流形（Stein manifold）理论中，全纯凸性是施泰因流形的核心条件之一。 6. 与单复变情形的对比 单复变 ：任何区域都是全纯凸的，因此全纯域概念平凡。 多复变 ：全纯凸性成为关键性质，例如哈托格斯现象表明存在非全纯域，全纯凸性用于排除此类区域。 总结 全纯域与全纯凸性揭示了全纯函数的“定义域完整性”与区域几何结构的深刻联系，是多复变函数论的基石，并广泛应用于复几何、代数几何和数学物理中。