对称群 让我从最基础的概念开始，循序渐进地讲解对称群的相关知识。 首先，我们来理解"对称"在数学中的含义。对称描述的是一个对象在某种变换下保持不变的性质。比如正方形的旋转对称、字母"A"的镜像对称等。 1. 置换的定义 在有限集合上，对称性通过"置换"来精确描述。设X是一个有限集合，X上的一个置换是指从X到自身的一个双射（一一对应）。例如，当X={1,2,3}时，将1映射到2，2映射到3，3映射到1，就是一个置换。 2. 置换的表示方法 置换有两种常用表示法： 双行表示法：上下两行写出对应关系 轮换表示法：将循环映射写成一个轮换，如(1 2 3)表示1→2→3→1 3. 对称群的定义 集合X上所有置换构成的集合，在置换的复合运算下形成一个群，称为X的对称群，记作S_ X。当X有n个元素时（通常取X={1,2,...,n}），对称群记作S_ n，称为n次对称群。 4. 对称群的基本性质 S_ n的阶（元素个数）是n ! 单位元是恒等置换（每个元素映射到自身） 每个置换都有逆置换 置换的复合满足结合律 5. 置换的轮换分解 每个置换都可以唯一地分解成不相交轮换的乘积。例如，S_ 5中的置换可以分解为(1 3)(2 4 5)。轮换的长度是指轮换中元素的个数。 6. 置换的奇偶性 根据轮换分解，可以定义置换的奇偶性： 长度为k的轮换的奇偶性由(-1)^(k-1)决定 置换的奇偶性等于其所有轮换奇偶性的乘积 奇偶性相同的置换构成交错群A_ n，它是S_ n的正规子群 7. 对称群的结构定理 Cayley定理指出：任何n阶有限群都同构于S_ n的某个子群。这意味着对称群包含了所有有限群作为其子群，体现了它在群论中的基础地位。 8. 对称群在数学中的应用 对称群是理解对称性的基本工具，在组合数学、表示论、物理学等领域有广泛应用。它为我们研究更复杂的代数结构（如李群、代数簇的自同构群等）提供了基础。