复变函数的福克斯定理 福克斯定理是复变函数论中关于线性微分方程解析理论的重要结果，主要研究微分方程在复平面上奇点附近解的性质。让我们逐步理解这个定理。 首先需要明确什么是线性微分方程。在复变函数中，n阶线性微分方程的一般形式为： \[ w^{(n)}+a_ 1(z)w^{(n-1)}+\cdots+a_ {n-1}(z)w'+a_ n(z)w=0 \] 其中系数函数\(a_ 1(z),\ldots,a_ n(z)\)是已知的复变函数。 福克斯定理关注的是这些系数函数在奇点附近的性质。奇点分为正则奇点和非正则奇点。如果系数函数在点\(z_ 0\)处至多有极点，且极点的阶数满足特定条件，则称\(z_ 0\)为正则奇点。 具体来说，对于点\(z_ 0\)，如果每个系数\(a_ k(z)\)在\(z_ 0\)处至多是k阶极点，即\((z-z_ 0)^k a_ k(z)\)在\(z_ 0\)的邻域内解析，那么\(z_ 0\)就是正则奇点。这个条件保证了微分方程的解在奇点附近具有较好的性质。 在正则奇点附近，微分方程的解可以表示为： \[ w(z)=(z-z_ 0)^\rho \sum_ {k=0}^\infty c_ k(z-z_ 0)^k \] 其中\(\rho\)是指标，由指标方程确定。这种形式的解称为Frobenius级数解。 指标方程是通过将试探解\(w(z)=(z-z_ 0)^\rho\)代入微分方程并令最低幂次项系数为零得到的代数方程。对于n阶方程，指标方程是\(\rho\)的n次代数方程。 福克斯定理指出，在正则奇点附近，微分方程存在n个线性无关的Frobenius级数解，这些解在去掉奇点后的区域内收敛。这些解可能包含对数项，特别是在指标方程有重根的情况下。 当指标方程的根相差整数时，可能会出现对数项。例如，如果两个指标根\(\rho_ 1\)和\(\rho_ 2\)满足\(\rho_ 1-\rho_ 2\in\mathbb{Z}\)，那么对应的第二个解可能包含\(\ln(z-z_ 0)\)的项。 福克斯定理的重要性在于它提供了判断微分方程在奇点附近解的性质的系统方法。通过检查系数函数的极点性质，我们可以预先知道解在奇点附近的行为，这对于求解各种物理和工程问题中的微分方程具有重要意义。 这个定理是复变函数论在微分方程理论中的重要应用，它将复分析中的解析函数理论与微分方程的局部性质紧密联系起来，为研究特殊函数和数学物理方程提供了理论基础。