对称群 我将为您详细讲解对称群这一概念，从基础定义到核心性质，逐步深入。 基本定义 对称群是指一个集合上所有双射（即一一对应）变换构成的群。具体来说，给定一个非空集合 \(X\)，其对称群记为 \(S_ X\)，群运算为映射的复合。若 \(X\) 有 \(n\) 个元素（记为 \(X = \{1, 2, \dots, n\}\)），则对称群简记为 \(S_ n\)，称为 \(n\) 次对称群。例如，\(S_ 3\) 包含3个元素的所有排列，共有 \(3 ! = 6\) 个元素。 群结构 封闭性 ：任意两个置换的复合仍是置换。 单位元 ：恒等置换（每个元素映射到自身）。 逆元 ：每个置换有唯一的逆置换。 结合律 ：映射复合满足结合律。 例如，在 \(S_ 3\) 中，置换 \((1\ 2)\) 和 \((2\ 3)\) 的复合为 \((1\ 2\ 3)\)，其逆为 \((1\ 3\ 2)\)。 置换的表示 置换可用轮换分解表示，即写成不相交轮换的乘积。例如，\(S_ 4\) 中的置换 \(\sigma = (1\ 3)(2\ 4)\) 表示1和3交换，2和4交换。轮换分解是唯一的（不考虑顺序）。 对称群的性质 阶 ：\(S_ n\) 的阶为 \(n !\)。 非交换性 ：当 \(n \geq 3\) 时，\(S_ n\) 是非交换群。例如在 \(S_ 3\) 中，\((1\ 2)(1\ 3) = (1\ 3\ 2)\)，而 \((1\ 3)(1\ 2) = (1\ 2\ 3)\)，两者不等。 生成元 ：\(S_ n\) 可由相邻对换 \((i\ i+1)\) 生成，也可由轮换 \((1\ 2\ \dots\ n)\) 和对换 \((1\ 2)\) 生成。 子群结构 对称群包含丰富的子群，例如： 交错群 \(A_ n\) ：由所有偶置换构成，阶为 \(n !/2\)。 循环子群 ：由单个轮换生成，如 \(S_ 4\) 中的 \(\langle (1\ 2\ 3\ 4) \rangle\)。 子群分类是群论的核心问题，例如 \(S_ 4\) 有著名的正四面体对称群作为子群。 与数学其他领域的联系 对称群是表示论、组合数学和几何的基础对象。例如： 表示论 ：研究 \(S_ n\) 的线性表示，如通过Young图分类不可约表示。 组合数学 ：置换统计（如逆序数）与对称群元素性质相关。 几何 ：对称群描述几何体的对称性，如正多面体的对称群是 \(S_ n\) 的子群。 通过以上步骤，您可以看到对称群从基本定义逐步扩展到深层理论与应用。这一概念在代数及其相关领域中具有核心地位。