复变函数的茹利亚集与法图集 我将为您详细讲解复变函数动力系统中的茹利亚集与法图集，这是研究复解析函数迭代行为的核心概念。 1. 基本定义与背景 茹利亚集和法图集是研究复解析函数迭代fⁿ(z) = f(f(...f(z)...))时出现的两个互补集合。给定一个复解析函数f: ℂ̂ → ℂ̂（ℂ̂表示黎曼球面），定义： 法图集F(f)：f迭代下行为"规则"的初始点集合 茹利亚集J(f)：f迭代下行为"混沌"的初始点集合 且满足F(f) ∪ J(f) = ℂ̂，F(f) ∩ J(f) = ∅ 2. 正规性的严格定义 点z₀ ∈ F(f)当且仅当存在z₀的邻域U，使得函数族{fⁿ|U}ₙ在U上正规。这里的正规性指该函数族在U上是正规族，即从任一函数序列中可选出在U上内闭一致收敛的子列。 3. 稳定性与周期点分类 为了理解这两个集合，需要先了解周期点的分类： 吸引周期点：若周期点z₀满足|(fᵖ)'(z₀)| < 1 排斥周期点：若|(fᵖ)'(z₀)| > 1 中性周期点：若|(fᵏ)'(z₀)| = 1 关键性质：所有排斥周期点都在茹利亚集中，而吸引周期点在法图集中。 4. 茹利亚集的等价刻画 茹利亚集J(f)有以下等价定义： (1) f在ℂ̂上的斥性周期点的闭包 (2) f的非正规点集（即法图集的补集） (3) f的混沌行为的点集 (4) 对于有理函数，也是f的不稳定点集 5. 法图集的连通分支 法图集由若干个连通分支组成，每个分支在f迭代下具有一致性： 如果U是法图集的连通分支，则f(U)仍是法图集的连通分支 f在法图集上的限制是开映射 法图集的连通分支在迭代下形成周期轨道 6. 基本性质总结 茹利亚集J(f)的性质： 闭集（在ℂ̂中） 完全不变集：f(J(f)) = J(f) = f⁻¹(J(f)) 非空（除非f是Möbius变换） 在f迭代下具有遍历性 法图集F(f)的性质： 开集 完全不变集 由至多可数个连通分支组成 7. 经典示例：二次多项式f(z) = z² + c 以f(z) = z² + c为例： 当c = 0时：J(f)是单位圆周，F(f)是单位圆内和圆外 当|c|较小时：J(f)是拟圆周，F(f)由无限多个连通分支组成 当c在Mandelbrot集外时：J(f)是康托集，F(f)连通 8. 动力学意义 从动力学角度理解： 法图集：初始值的微小扰动不会显著改变长期迭代行为 茹利亚集：对初始条件极度敏感（蝴蝶效应） 茹利亚集是f的混沌行为的精确描述 这两个集合共同构成了复动力系统的骨架，是理解复解析函数迭代全局行为的基础。