模的Krull维数 我们先从最基础的环的维数概念开始。模的Krull维数是环的Krull维数概念在模上的推广，它衡量的是模（或环）中素理想链的长度。 环的Krull维数 对于一个交换环 \( R \)，其Krull维数定义为素理想链 \( \mathfrak{p}_ 0 \subsetneq \mathfrak{p}_ 1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_ n \) 的最大长度 \( n \)。 例如，域 \( k \) 的Krull维数为0（因为唯一的素理想是(0)）；主理想整环（如整数环 \( \mathbb{Z} \)）的维数为1（链如 (0) \(\subsetneq\) (p)）；多项式环 \( k[ x_ 1, \dots, x_ n ] \) 的维数为 \( n \)。 模的Krull维数定义 设 \( M \) 是一个 \( R \)-模。模 \( M \) 的Krull维数定义为 \( M \) 中素理想链在模中的推广：即所有链 \( \mathfrak{p}_ 0 \subsetneq \mathfrak{p}_ 1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_ n \) 的最大长度 \( n \)，其中每个 \( \mathfrak{p}_ i \) 是 \( R \) 的素理想，且 \( \mathfrak{p} i \in \mathrm{Supp}(M) \)（即 \( M {\mathfrak{p}_ i} \neq 0 \)）。 等价地，模 \( M \) 的Krull维数等于商环 \( R/\mathrm{Ann}(M) \) 的Krull维数，其中 \( \mathrm{Ann}(M) = \{ r \in R \mid rM = 0 \} \) 是 \( M \) 的零化子。 例子与计算 如果 \( M = R \)（作为自身的模），则 \( \mathrm{Ann}(M) = 0 \)，所以模的维数等于环 \( R \) 的Krull维数。 若 \( M \) 是有限生成模，则 \( \mathrm{Supp}(M) = V(\mathrm{Ann}(M)) \)，其维数由 \( R/\mathrm{Ann}(M) \) 的维数决定。例如，对于 \( R = k[ x,y] \) 和模 \( M = R/(x) \)，有 \( \mathrm{Ann}(M) = (x) \)，故 \( R/\mathrm{Ann}(M) \cong k[ y ] \)，维数为1。 性质与重要结论 模的Krull维数总是小于或等于环的Krull维数。 对于诺特环上的有限生成模，Krull维数是有限的，且可以通过归纳定义：设 \( \dim M \) 为维数，若 \( M = 0 \) 则 \( \dim M = -1 \)；否则为满足以下条件的最小整数 \( d \)：存在有限多个元素 \( x_ 1, \dots, x_ d \in R \)，使得 \( M/(x_ 1, \dots, x_ d)M \) 是有限长度的模。 在代数几何中，仿射代数簇的维数与其坐标环的Krull维数一致，模的Krull维数则对应到支撑簇的维数。 应用与推广 Krull维数是研究模的分类、奇点理论以及同调猜想（如Bass猜想）的重要工具。 在局部环上，Krull维数与深度（depth）结合可定义科恩-麦考莱环。 对于非交换环，Krull维数也有相应推广（如Gabriel维数），但定义更为复杂。