模的商模 首先，模的商模是模论中一个基本而重要的构造，它允许我们通过"模掉"一个子模来得到一个新的模。这个构造与群论中的商群、环论中的商环类似，是研究模结构的重要工具。 第一步：子模的定义 在定义商模之前，我们需要先明确子模的概念。设 \( R \) 是一个环，\( M \) 是一个 \( R \)-模。如果 \( N \) 是 \( M \) 的一个非空子集，并且满足： \( N \) 关于 \( M \) 的加法构成一个子群； 对于任意 \( r \in R \) 和 \( n \in N \)，有 \( r \cdot n \in N \)（即 \( N \) 在 \( R \) 的作用下封闭）； 则称 \( N \) 是 \( M \) 的一个子模。 第二步：商模的构造 给定一个 \( R \)-模 \( M \) 和它的一个子模 \( N \)，我们可以构造商模 \( M/N \)。具体步骤如下： 考虑 \( M \) 作为加法群的商群 \( M/N \)。这个商群中的元素是 \( N \) 在 \( M \) 中的陪集，即形如 \( m + N \) 的集合，其中 \( m \in M \)。 在 \( M/N \) 上定义 \( R \) 的作用：对于任意 \( r \in R \) 和陪集 \( m + N \in M/N \)，定义 \( r \cdot (m + N) = r \cdot m + N \)。 需要验证这个作用是良定义的：如果 \( m + N = m' + N \)（即 \( m - m' \in N \)），那么 \( r \cdot m - r \cdot m' = r \cdot (m - m') \in N \)（因为 \( N \) 是子模），所以 \( r \cdot m + N = r \cdot m' + N \)。因此，这个作用不依赖于陪集代表的选取。 第三步：商模的性质 商模 \( M/N \) 具有以下基本性质： 它本身是一个 \( R \)-模，其零元是 \( 0 + N = N \)。 有一个自然的满同态 \( \pi: M \to M/N \)，定义为 \( \pi(m) = m + N \)。这个同态称为 典范投影 ，它的核正好是子模 \( N \)。 商模满足 同态基本定理 ：如果 \( f: M \to M' \) 是一个模同态，且 \( N \subseteq \ker(f) \)，那么存在唯一的同态 \( \bar{f}: M/N \to M' \) 使得 \( f = \bar{f} \circ \pi \)。 第四步：商模的泛性质 商模 \( M/N \) 可以由一个泛性质刻画：对于任意模同态 \( f: M \to X \) 满足 \( f(N) = 0 \)，存在唯一的同态 \( \tilde{f}: M/N \to X \) 使得 \( f = \tilde{f} \circ \pi \)。这个性质在构造和证明中非常有用，它体现了商模的"最通用"的性质。 第五步：应用实例 考虑 \( R = \mathbb{Z} \)（整数环），\( M = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)（直和模），\( N = \{(x, y) \in M \mid x + y = 0\} \)。那么商模 \( M/N \) 中的元素可以表示为 \( (a, b) + N \)。注意到 \( (a, b) - (0, a+b) = (a, -a) \in N \)，所以 \( (a, b) + N = (0, a+b) + N \)。因此，每个陪集由第二个坐标的和唯一决定，实际上 \( M/N \cong \mathbb{Z} \)。 第六步：与正合序列的关系 商模在正合序列中扮演重要角色。对于子模 \( N \subseteq M \)，序列 \( 0 \to N \to M \to M/N \to 0 \) 是正合的，其中 \( N \to M \) 是包含映射，\( M \to M/N \) 是典范投影。这样的序列称为 短正合序列 ，是研究模结构的基本工具。