随机变量的变换的连续映射定理 连续映射定理是概率论中描述随机变量在连续函数作用下收敛性质的重要工具。它建立了随机变量不同收敛模式之间的内在联系，为研究统计量的渐近性质提供了理论基础。 基本概念 连续映射定理的核心思想是：如果一组随机变量以某种方式收敛，那么这些随机变量经过连续函数变换后，其收敛性仍然保持。具体来说，若随机变量序列{Xₙ}依分布收敛于X（记作Xₙ→ᵈ X），且函数g是连续函数，则g(Xₙ)依分布收敛于g(X)。这个定理在依概率收敛和几乎必然收敛的情形下也成立。 数学表述 设Xₙ和X是定义在概率空间(Ω, F, P)上的随机变量，g: R→R是一个博雷尔可测函数。若在D_ g（g的不连续点集）上满足P(X∈D_ g)=0，则： 当Xₙ→ᵈ X时，有g(Xₙ)→ᵈ g(X) 当Xₙ→ₚ X时，有g(Xₙ)→ₚ g(X) 当Xₙ→ {a.s.} X时，有g(Xₙ)→ {a.s.} g(X) 其中D_ g的零测条件保证了变换后的收敛性不会因函数在个别点的不连续性而破坏。 证明思路 以依分布收敛为例，证明基于Skorokhd表示定理。该定理允许我们在另一个概率空间上构造具有相同分布的随机变量序列{Yₙ}和Y，使得Yₙ→ {a.s.} Y。由于g的连续性（在D_ g外），可得g(Yₙ)→ {a.s.} g(Y)，再通过分布相等性即得g(Xₙ)→ᵈ g(X)。 典型应用 样本均值的变换：若√n(Xₙ-μ)→ᵈ N(0,σ²)，则通过连续映射定理可得n(Xₙ-μ)²→ᵈ σ²χ²₁ Delta方法基础：当估计量满足中心极限定理时，其光滑函数的渐近分布可直接推导 次序统计量：样本极差等统计量的渐近分布推导 矩估计理论：样本矩与总体矩的函数关系分析 注意事项 收敛模式强度：定理保持原有收敛模式（a.s.收敛→a.s.收敛，依概率→依概率，依分布→依分布） 不连续点处理：D_ g的零测条件是本质要求，否则结论可能不成立 多维推广：定理可推广到随机向量情形，要求g: Rᵏ→Rᵐ连续 与Slutsky定理的关系：连续映射定理常与Slutsky定理结合使用，处理更复杂的随机变量组合 这个定理的价值在于它提供了一个统一框架，使得我们能够通过简单变量的收敛性推导复杂变换后的收敛性，极大简化了渐近理论中的许多证明过程。