复变函数的柯西型积分公式的边界性质 我们先从柯西型积分公式的基本形式开始。设 \( f \) 是在区域 \( D \) 内全纯且在闭包 \( \overline{D} \) 上连续的函数，\( \partial D \) 是分段光滑的简单闭曲线，那么对任意 \( z \in D \)，有 \[ f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_ {\partial D} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} \, d\zeta. \] 这是柯西积分公式的标准形式，它要求 \( f \) 在边界上连续。 边界性质的引出 在实际问题中，函数 \( f \) 可能只在区域内部全纯，而在边界上仅满足某种较弱条件（例如属于 \( L^p \) 空间或满足赫尔德条件）。此时，我们考虑柯西型积分： \[ F(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_ {\Gamma} \frac{\varphi(\zeta)}{\zeta - z} \, d\zeta, \] 其中 \( \Gamma \) 是光滑曲线（或分段光滑），\( \varphi \) 是定义在 \( \Gamma \) 上的函数。我们关心当 \( z \) 从内部或外部趋近于边界时，\( F(z) \) 的极限行为。 普莱姆利公式 若 \( \Gamma \) 是光滑闭曲线，将复平面分为内部 \( D^+ \) 和外部 \( D^- \)。设 \( \varphi \) 在 \( \Gamma \) 上满足赫尔德条件（即存在 \( 0 < \alpha \le 1 \)，使得 \( |\varphi(t_ 1) - \varphi(t_ 2)| \le C |t_ 1 - t_ 2|^\alpha \)）。那么对任意 \( t_ 0 \in \Gamma \)，当 \( z \to t_ 0^{\pm} \)（分别从内部和外部逼近）时，有 \[ F^+(t_ 0) = \frac{1}{2} \varphi(t_ 0) + \frac{1}{2\pi i} \text{v.p.} \int_ {\Gamma} \frac{\varphi(\zeta)}{\zeta - t_ 0} \, d\zeta, \] \[ F^-(t_ 0) = -\frac{1}{2} \varphi(t_ 0) + \frac{1}{2\pi i} \text{v.p.} \int_ {\Gamma} \frac{\varphi(\zeta)}{\zeta - t_ 0} \, d\zeta, \] 其中 \( \text{v.p.} \) 表示柯西主值积分，\( F^+ \) 和 \( F^- \) 分别是 \( F(z) \) 从内部和外部的边界极限。两式相减得到跳跃公式： \[ F^+(t_ 0) - F^-(t_ 0) = \varphi(t_ 0). \] 边界性质的应用 边界值的赫尔德连续性 ：若 \( \varphi \) 在 \( \Gamma \) 上满足赫尔德条件，则 \( F^+ \) 和 \( F^- \) 也在 \( \Gamma \) 上满足赫尔德条件，且指数相同（若 \( \alpha < 1 \)）。 在边界的可微性 ：若 \( \varphi \) 在 \( \Gamma \) 上连续可微，则 \( F^+ \) 和 \( F^- \) 在 \( \Gamma \) 上也是连续可微的。 奇异积分算子的有界性 ：柯西型积分在 \( L^p(\Gamma) \) 空间上是线性有界算子，这一性质与调和分析中的卡尔德隆-齐格蒙德理论密切相关。 总结 柯西型积分公式的边界性质揭示了全纯函数在边界上的极限行为，并通过奇异积分理论建立了内部函数与边界函数之间的联系。这一理论不仅推广了经典的柯西积分公式，还为边值问题和奇异积分方程提供了重要工具。