平行移动 平行移动是微分几何中的一个基本概念，用于描述向量沿曲面上一条曲线移动时保持某种“平行性”的方式。让我从基础开始，循序渐进地解释这个概念。 1. 平面上的平行移动 在平面上，平行移动很简单：当我们将一个向量沿着某条曲线移动时，只需要保持向量的方向和长度不变。例如，将一个指向北方的向量沿着任意曲线移动，始终保持它指向北方且长度不变。 2. 曲面上的挑战 在曲面上情况变得复杂。由于曲面是弯曲的，我们无法简单地在三维空间中“平移”向量，因为这样会使向量脱离曲面。我们需要定义一种内在的平行移动概念，只依赖于曲面本身的几何性质。 3. 联络与协变导数 为了在曲面上定义平行移动，我们需要引入联络的概念。联络本质上是一个规则，告诉我们如何比较曲面上不同点的切向量。通过联络，我们定义协变导数，它衡量向量场沿着某个方向的变化率。 4. 平行移动的定义 在曲面上，我们说一个向量沿着曲线平行移动，如果它沿着曲线的协变导数为零。这意味着向量在沿着曲线移动时，相对于曲面的几何结构保持不变。 5. 具体计算过程 给定曲面上的曲线和初始向量，平行移动的计算步骤是： 建立曲面的克里斯托费尔符号 写出平行移动的微分方程 沿着曲线求解这个方程 得到沿着整条曲线的平行向量场 6. 路径依赖性 曲面上的平行移动有一个重要特性：路径依赖性。这意味着，如果我们将向量沿着两条不同的路径从A点移动到B点，最终得到的向量方向可能不同。这个差异反映了曲面的曲率。 7. 与曲率的关系 平行移动的路径依赖性与高斯曲率密切相关。实际上，当向量沿着一个小闭合回路平行移动一周后，向量方向的变化角度等于回路包围区域的高斯曲率积分。 8. 应用实例 在球面上，考虑从赤道上一点出发指向北的切向量。如果沿着经线移动到北极，再沿着另一条经线回到赤道，最后沿着赤道回到起点，向量方向会发生明显变化，这就是平行移动路径依赖性的直观例子。