C0-半群（C0-Semigroups）

让我从最基础的概念开始，逐步深入讲解这个重要的泛函分析概念。

1. 为什么需要半群理论？

在数学物理中，我们经常遇到形如\(\frac{du}{dt} = Au\)的演化方程，其中\(A\)是某个微分算子。我们希望找到解\(u(t)\)，使得\(u(0) = u_0\)（初始条件）。

类比于常微分方程\(\frac{du}{dt} = au\)的解\(u(t) = e^{at}u_0\)，我们希望将解表示为\(u(t) = T(t)u_0\)，其中\(\{T(t)\}_{t≥0}\)是一族算子，满足类似指数函数的性质。这就是半群理论的起源。

2. 半群的基本定义

一个C0-半群（也称强连续单参数半群）是定义在巴拿赫空间\(X\)上的一族有界线性算子\(\{T(t)\}_{t≥0}\)，满足：

(1) 半群性质：\(T(0) = I\)（恒等算子），且对任意\(t,s≥0\)，有\(T(t+s) = T(t)T(s)\)

(2) 强连续性：对任意\(x∈X\)，映射\(t ↦ T(t)x\)在\([0,∞)\)上连续

3. 无穷小生成元

每个C0-半群都有一个关联的无穷小生成元\(A\)，定义为：

\[Ax = \lim_{t→0^+} \frac{T(t)x - x}{t} \]

其中定义域\(D(A)\)由所有使该极限存在的\(x∈X\)组成。

生成元\(A\)通常是稠定闭算子（不一定有界），它完全决定了半群的性质。

4. 基本例子

考虑\(X = L^2(ℝ)\)，定义平移半群：

\[(T(t)f)(x) = f(x-t) \]

这是一个C0-半群，其生成元是\(-d/dx\)（在适当定义域上）。

5. 半群与柯西问题的关系

如果\(A\)生成C0-半群\(\{T(t)\}_{t≥0}\)，那么柯西问题：

\[\begin{cases} \frac{du}{dt} = Au, & t>0 \\ u(0) = u_0 \end{cases} \]

有唯一解\(u(t) = T(t)u_0\)，对任意\(u_0 ∈ D(A)\)。

6. 生成定理

判断一个算子何时生成C0-半群是核心问题。最重要的结果是Hille-Yosida定理：

闭稠定算子\(A\)生成收缩C0-半群（即\(\|T(t)\| ≤ 1\)）当且仅当：

• \((0,∞) ⊂ ρ(A)\)（预解集）
• \(\|(λ-A)^{-1}\| ≤ \frac{1}{λ}\)，对所有\(λ>0\)

更一般的Lumer-Phillips定理在希尔伯特空间中特别有用。

7. 解析半群

一类特殊的C0-半群是解析半群，其中\(t ↦ T(t)\)可以解析延拓到复平面的某个扇形区域。这类半群对应抛物型偏微分方程，具有更好的正则性性质。

8. 应用意义

C0-半群理论为研究发展方程提供了统一框架，包括热方程、波动方程、薛定谔方程等。它使得我们可以用算子理论的方法研究偏微分方程的长时间行为、稳定性、正则性等基本问题。